Noteikti pret nenoteiktiem integrāļiem
Rēķini ir svarīga matemātikas nozare, un diferenciācijai ir būtiska nozīme aprēķinos. Apgrieztais diferenciācijas process ir pazīstams kā integrācija, un apgrieztais ir pazīstams kā integrālis vai vienkārši sakot, diferenciācijas apgrieztais process dod integrāli. Pamatojoties uz to iegūtajiem rezultātiem, integrāļi tiek sadalīti divās klasēs; noteikti un nenoteikti integrāļi.
Vairāk par nenoteiktajiem integrāļiem
Nenoteikts integrālis ir vairāk vispārējs integrācijas veids, un to var interpretēt kā aplūkojamās funkcijas antiatvasinājumu. Pieņemsim, ka F diferenciācija dod f, un f integrācija dod integrāli. To bieži raksta kā F(x)=∫ƒ(x)dx vai F=∫ƒ dx, kur gan F, gan ƒ ir x funkcijas, un F ir diferencējams. Iepriekš minētajā formā to sauc par Reimaņa integrāli, un iegūtā funkcija pavada patvaļīgu konstanti. Nenoteikts integrālis bieži rada funkciju saimi; tāpēc integrālis ir nenoteikts.
Integrālie elementi un integrācijas process ir diferenciālvienādojumu risināšanas pamatā. Tomēr atšķirībā no diferenciācijas integrācija ne vienmēr notiek pēc skaidras un standarta rutīnas; dažreiz risinājumu nevar skaidri izteikt elementārās funkcijas izteiksmē. Tādā gadījumā analītiskais risinājums bieži tiek sniegts nenoteikta integrāļa veidā.
Vairāk par noteiktiem integrāļiem
Noteikti integrāļi ir ļoti vērtīgi nenoteikto integrāļu ekvivalenti, kur integrācijas process faktiski rada ierobežotu skaitli. To var grafiski definēt kā laukumu, ko noteiktā intervālā ierobežo funkcijas ƒ līkne. Ikreiz, kad integrācija tiek veikta noteiktā neatkarīgā mainīgā intervālā, integrācija rada noteiktu vērtību, ko bieži raksta kā a∫bƒ(x) dx vai a∫b ƒdx.
Nenoteiktie integrāļi un noteiktie integrāļi ir savstarpēji saistīti, izmantojot pirmo aprēķina pamatteorēmu, un tas ļauj aprēķināt noteikto integrāli, izmantojot nenoteiktos integrāļus. Teorēma nosaka a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), kur gan F, gan ƒ ir x funkcijas, un F ir diferencējams intervālā (a, b). Ņemot vērā intervālu, a un b ir attiecīgi zināmi kā apakšējā robeža un augšējā robeža.
Tā vietā, lai apstātos tikai ar reālām funkcijām, integrāciju var attiecināt uz sarežģītām funkcijām, un šos integrāļus sauc par kontūru integrāļiem, kur ƒ ir kompleksā mainīgā funkcija.
Kāda ir atšķirība starp noteiktiem un nenoteiktiem integrāļiem?
Nenoteikti integrāļi attēlo funkcijas antiatvasinājumu un bieži vien funkciju saimi, nevis noteiktu risinājumu. Noteiktos integrāļos integrācija dod galīgu skaitli.
Nenoteikti integrāļi saista patvaļīgu mainīgo (tātad funkciju saimi), un noteiktiem integrāļiem nav patvaļīgas konstantes, bet gan integrācijas augšējā un apakšējā robeža.
Nenoteikts integrālis parasti sniedz vispārīgu diferenciālvienādojuma risinājumu.
