Power Series vs Taylor Series
Matemātikā reāla secība ir sakārtots reālo skaitļu saraksts. Formāli tā ir funkcija no naturālo skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai. Ja an ir secības nth, mēs apzīmējam secību ar vai ar 1, a 2, …, an, …. Piemēram, apsveriet secību 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. To var apzīmēt kā {1/n}.
Ir iespējams definēt sēriju, izmantojot secības. Sērija ir secības vārdu summa. Tāpēc katrai secībai ir saistīta secība un otrādi. Ja {an} ir aplūkojamā secība, tad sērijas, ko veido šī secība, var attēlot kā:
Tādējādi iepriekš minētajā piemērā saistītā sērija ir 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Kā liecina nosaukumi, jaudas sērijas ir īpašs sēriju veids, un to plaši izmanto skaitliskajā analīzē un ar to saistītajā matemātiskajā modelēšanā. Taylor sērija ir īpaša jaudas sērija, kas nodrošina alternatīvu un viegli manipulējamu veidu, kā attēlot labi zināmas funkcijas.
Kas ir Power sērija?
Spēku sērija ir virkne formā
kas ir konverģents (iespējams) kādam intervālam, kura centrs ir c. Koeficienti anvar būt reāli vai kompleksi skaitļi un ir neatkarīgi no x; t.i., fiktīvais mainīgais.
Piemēram, iestatot an=1 katram n un c=0, pakāpju sērija 1+x+x2 +…..+ x+… tiek iegūts. Ir viegli novērot, ka, ja x ε (-1, 1), šī pakāpju rinda konverģē uz 1/(1-x).
Pakāpju rinda saplūst, ja x=c. Pārējās x vērtības, kurām pakāpju rindas saplūst, vienmēr būs atvērta intervāla veidā, kura centrs ir c. Tas nozīmē, ka būs tāda vērtība 0≤ R ≤ ∞, lai katrai x, kas atbilst |x-c|≤ R, pakāpju rinda ir konverģenta un katrai x, kas atbilst |x-c|> R, pakāpju rinda ir diverģenta. Šo vērtību R sauc par pakāpju rindas konverģences rādiusu (R var pieņemt jebkuru reālo vērtību vai pozitīvu bezgalību).
Jaudas sērijas var pievienot, atņemt, reizināt un dalīt, izmantojot šādus noteikumus. Apsveriet divas jaudas sērijas:
Tad,
t.i. līdzīgi termini tiek pievienoti vai atņemti kopā. Ir iespējams arī reizināt un dalīt divas pakāpju sērijas, izmantojot identitāti
Kas ir Teilora sērija?
Teilora sērija ir definēta funkcijai f (x), kas intervālā ir bezgalīgi diferencējama. Pieņemsim, ka f (x) ir diferencējams intervālā, kura centrs ir c. Pēc tam pakāpju sērija, ko dod
sauc par Teilora sērijas paplašinājumu funkcijai f (x) par c. (Šeit f(n) (c) apzīmē nth atvasinājumu pie x=c). Skaitliskajā analīzē šajā bezgalīgajā paplašinājumā tiek izmantots ierobežots terminu skaits, lai aprēķinātu vērtības punktos, kur sērija ir konverģenta ar sākotnējo funkciju.
Tiek uzskatīts, ka funkcija f (x) ir analītiska intervālā (a, b), ja katram x ε (a, b), Teilora sērija f (x) saplūst ar funkciju f (x). Piemēram, 1/(1-x) ir analītisks (-1, 1), jo tā Teilora paplašinājums 1+x+x2+….+ x +… saplūst ar funkciju šajā intervālā, un ex ir analītiska visur, jo Teilora sērija ex saplūst ar e x katram reālajam skaitlim x.
Kāda ir atšķirība starp Power sēriju un Taylor sēriju?
1. Teilora sērija ir īpaša jaudas sēriju klase, kas definēta tikai funkcijām, kuras ir bezgalīgi diferencējamas kādā atvērtā intervālā.
2. Teilora sērijai ir īpaša forma
tā kā pakāpju sērija var būt jebkura sērija formā
