Atšķirība starp Rīmaņa integrāli un Lēbesga integrāli

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 13:45

Riemana integrāls vs Lēbesga integrāls

Integrācija ir galvenā skaitļošanas tēma. Plašākā nozīmē integrāciju var uzskatīt par apgrieztu diferenciācijas procesu. Modelējot reālās pasaules problēmas, ir viegli rakstīt izteiksmes, kas ietver atvasinājumus. Šādā situācijā ir nepieciešama integrācijas darbība, lai atrastu funkciju, kas deva konkrēto atvasinājumu.

Raugoties no cita leņķa, integrācija ir process, kas summē funkcijas ƒ(x) un δx reizinājumu, kur δx mēdz būt noteikta robeža. Tāpēc mēs izmantojam integrācijas simbolu kā ∫. Simbols ∫ patiesībā ir tas, ko mēs iegūstam, izstiepjot burtu s, lai norādītu uz summu.

Riemana integrāls

Apsveriet funkciju y=ƒ(x). Y integrālis starp a un b, kur a un b pieder kopai x, tiek uzrakstīts kā _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). To sauc par vienvērtīgas un nepārtrauktas funkcijas y=ƒ(x) starp a un b noteiktu integrāli. Tas dod laukumu zem līknes starp a un b. To sauc arī par Rīmaņa integrāli. Rīmaņa integrāli izveidoja Bernhards Rīmanis. Nepārtrauktas funkcijas Rīmaņa integrālis ir balstīts uz Jordānas mēru, tāpēc tas tiek definēts arī kā funkcijas Rīmaņa summu robeža. Reālas vērtības funkcijai, kas definēta slēgtā intervālā, funkcijas Rīmana integrālis attiecībā pret nodalījumu x₁, x₂, …, x n_{, kas definēts intervālā [a, b] un t}1_{, t}2_{, …, t n}, kur x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 for katrs i ε {1, 2, …, n}, Rīmaņa summa ir definēta kā Σ_{i=o līdz n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue ir vēl viens integrāļa veids, kas aptver dažādus gadījumus nekā Rīmaņa integrālis. Lēbesga integrāli 1902. gadā ieviesa Anrī Lēbesgijs. Legesga integrāciju var uzskatīt par Rīmaņa integrācijas vispārinājumu.

Kāpēc mums ir jāmācās vēl viens integrālis?

Apskatīsim raksturīgo funkciju ƒ_{A (x)=}{_{0, ja, x nav ε A}^{1 ja, x ε A} uz kopas A. Tad ierobežota lineāra raksturfunkciju kombinācija, kas definēta kā F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) sauc par vienkāršo funkciju, ja E} i _{ir izmērāma katram i. Lēbesga integrālis F (x) virs E tiek apzīmēts ar} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcija F (x) nav integrējama Rīmana. Tāpēc Lēbesga integrālis ir pārfrāzēts Rīmaņa integrālis, kuram ir daži ierobežojumi integrējamajām funkcijām.}

Kāda ir atšķirība starp Rīmaņa integrāli un Lēbesga integrāli?

· Lēbesga integrālis ir Rīmaņa integrāļa vispārināšanas forma.

· Lēbesga integrālis pieļauj saskaitāmu bezgalību pārrāvumu, savukārt Rīmaņa integrālis pieļauj ierobežotu skaitu pārtraukumu.