Lineāri pret nelineārie diferenciālvienādojumi
Vienādojumu, kas satur vismaz vienu diferenciālkoeficentu vai nezināma mainīgā atvasinājumu, sauc par diferenciālvienādojumu. Diferenciālvienādojums var būt gan lineārs, gan nelineārs. Šī raksta mērķis ir izskaidrot, kas ir lineārais diferenciālvienādojums, kas ir nelineārs diferenciālvienādojums un kāda ir atšķirība starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem.
Kopš 18. gadsimta, kad matemātiķi, piemēram, Ņūtons un Leibnics, izstrādāja aprēķinus, diferenciālvienādojumam ir bijusi svarīga loma matemātikas stāstā. Diferenciālvienādojumiem ir liela nozīme matemātikā to pielietojuma diapazona dēļ. Diferenciālvienādojumi ir katra modeļa pamatā, ko mēs izstrādājam, lai izskaidrotu jebkuru scenāriju vai notikumu pasaulē neatkarīgi no tā, vai tas ir fizikā, inženierzinātnēs, ķīmijā, statistikā, finanšu analīzē vai bioloģijā (saraksts ir bezgalīgs). Faktiski, līdz aprēķini kļuva par vispāratzītu teoriju, nebija pieejami pareizi matemātiskie rīki, lai analizētu interesantās problēmas dabā.
Iegūtie vienādojumi no konkrēta aprēķinu pielietojuma var būt ļoti sarežģīti un dažkārt neatrisināmi. Tomēr ir problēmas, kuras mēs varam atrisināt, taču tās var izskatīties līdzīgi un mulsinoši. Tāpēc, lai atvieglotu identifikāciju, diferenciālvienādojumi tiek klasificēti pēc to matemātiskās uzvedības. Viena no šādām kategorijām ir lineāra un nelineāra. Ir svarīgi noteikt atšķirību starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem.
Kas ir lineārais diferenciālvienādojums?
Pieņemsim, ka f: X→Y un f(x)=y, diferenciālvienādojums bez nezināmas funkcijas y un tās atvasinājumu nelineāriem terminiem ir pazīstams kā lineārs diferenciālvienādojums.
Tas uzliek nosacījumu, ka y nedrīkst būt augstāki indeksa vienumi, piemēram, y2, y3, … un atvasinājumu daudzkārtņi, piemēram, kā
Tajā nedrīkst būt arī nelineāri termini, piemēram, Sin y, e y ^-2 vai ln y. Tam ir šāda forma:
kur y un g ir x funkcijas. Vienādojums ir n kārtas diferenciālvienādojums, kas ir augstākās kārtas atvasinājuma indekss.
Lineārā diferenciālvienādojumā diferenciāļa operators ir lineārs operators, un risinājumi veido vektoru telpu. Risinājumu kopas lineārā rakstura rezultātā risinājumu lineāra kombinācija ir arī diferenciālvienādojuma risinājums. Tas ir, ja y1 un y2 ir diferenciālvienādojuma risinājumi, tad C1 y 1+ C2 y2 ir arī risinājums.
Vienādojuma linearitāte ir tikai viens klasifikācijas parametrs, un to var iedalīt homogēnos vai nehomogēnās un parastos vai daļējos diferenciālvienādojumos. Ja funkcija ir g=0, tad vienādojums ir lineārs homogēns diferenciālvienādojums. Ja f ir divu vai vairāku neatkarīgu mainīgo (f: X, T→Y) un f(x, t)=y funkcija, tad vienādojums ir lineārs daļējs diferenciālvienādojums.
Diferenciālvienādojuma risinājuma metode ir atkarīga no diferenciālvienādojuma veida un koeficientiem. Vienkāršākais gadījums rodas, ja koeficienti ir nemainīgi. Klasisks piemērs šim gadījumam ir Ņūtona otrais kustības likums un tā dažādie pielietojumi. Ņūtona otrais likums rada otrās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem.
Kas ir nelineārs diferenciālvienādojums?
Vienādojumi, kas satur nelineārus terminus, ir zināmi kā nelineāri diferenciālvienādojumi.
Visi iepriekš minētie ir nelineāri diferenciālvienādojumi. Nelineāros diferenciālvienādojumus ir grūti atrisināt, tāpēc, lai iegūtu pareizu risinājumu, ir nepieciešama rūpīga izpēte. Daļēju diferenciālvienādojumu gadījumā lielākajai daļai vienādojumu nav vispārēja atrisinājuma. Tāpēc katrs vienādojums ir jāaplūko neatkarīgi.
Navjē-Stoksa vienādojums un Eilera vienādojums šķidruma dinamikā, Einšteina vispārējās relativitātes teorijas lauka vienādojumi ir labi zināmi nelineāri parciālie diferenciālvienādojumi. Dažreiz Lagranža vienādojuma piemērošana mainīgai sistēmai var radīt nelineāru daļēju diferenciālvienādojumu sistēmu.
Kāda ir atšķirība starp lineārajiem un nelineārajiem diferenciālvienādojumiem?
• Diferenciālvienādojums, kuram ir tikai nezināmā vai atkarīgā mainīgā lineārie termini un tā atvasinājumi, ir pazīstams kā lineārais diferenciālvienādojums. Tam nav termina ar indeksa atkarīgo mainīgo, kas ir lielāks par 1, un tas nesatur nevienu tā atvasinājumu daudzkārtni. Tam nevar būt nelineāras funkcijas, piemēram, trigonometriskās funkcijas, eksponenciālas funkcijas un logaritmiskās funkcijas attiecībā uz atkarīgo mainīgo. Jebkurš diferenciālvienādojums, kas satur iepriekš minētos terminus, ir nelineārs diferenciālvienādojums.
• Lineāru diferenciālvienādojumu risinājumi veido vektoru telpu, un diferenciāloperators arī ir lineārs operators vektoru telpā.
• Lineāro diferenciālvienādojumu risinājumi ir salīdzinoši vienkāršāki un pastāv vispārīgi risinājumi. Nelineāriem vienādojumiem vairumā gadījumu vispārējais risinājums nepastāv, un risinājums var būt specifisks problēmai. Tas padara risinājumu daudz grūtāku nekā lineārie vienādojumi.
