Atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko secību

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-17 23:40

Aritmētiskā secība pret ģeometrisko secību

Ciparu modeļu un to uzvedības izpēte ir svarīgs pētījums matemātikas jomā. Bieži vien šie modeļi ir redzami dabā un palīdz mums izskaidrot viņu uzvedību zinātniskā skatījumā. Aritmētiskās secības un ģeometriskās secības ir divi no galvenajiem modeļiem, kas sastopami skaitļos un bieži sastopami dabas parādībās.

Secība ir sakārtotu skaitļu kopa. Elementu skaits secībā var būt ierobežots vai bezgalīgs.

Vairāk par aritmētisko secību (aritmetrisko progresēšanu)

Aritmētiskā secība ir definēta kā skaitļu virkne ar nemainīgu starpību starp katru secīgo vārdu. To sauc arī par aritmētisko progresiju.

Aritmētiskā secība ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kur a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d un tā tālāk.}

Ja sākotnējais termins ir a₁ un kopējā atšķirība ir d, tad secības n^{th terminu nosaka ar;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Turpinot augstāk minēto rezultātu, n^{th terminu var dot arī kā;}

a_n =a_m + (n-m)d, kur a_{m ir nejaušs vārds tādā secībā, lai n > m.}

Pāra skaitļu kopa un nepāra skaitļu kopa ir vienkāršākie aritmētisko secību piemēri, kur katrai secībai ir kopīgā atšķirība (d) 2.

Jumu skaits secībā var būt bezgalīgs vai ierobežots. Bezgalīgā gadījumā (n → ∞) secībai ir tendence uz bezgalību atkarībā no kopējās atšķirības (a_{n → ±∞). Ja kopējā atšķirība ir pozitīva (d > 0), secībai ir tendence uz pozitīvu bezgalību un, ja kopējā atšķirība ir negatīva (d < 0), tai ir tendence uz negatīvu bezgalību. Ja termini ir ierobežoti, arī secība ir ierobežota.}

Aritmētiskās secības terminu summa ir zināma kā aritmētiskā sērija: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{un S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] sniedz sērija (S}n)

Vairāk par ģeometrisko secību (ģeometrisko progresēšanu)

Ģeometriskā secība ir definēta kā secība, kurā jebkuru divu secīgu vārdu koeficients ir konstante. To sauc arī par ģeometrisko progresiju.

Ģeometriskā secība ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kur a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r un tā tālāk, kur r ir reāls skaitlis.}

Ģeometrisko secību ir vieglāk attēlot, izmantojot kopējo attiecību (r) un sākotnējo terminu (a). Tādējādi ģeometriskā secība ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

N^th terminu vispārīgā forma, ko nosaka a_n =a₁r ^n-1. (Sākotnējā termina apakšraksta zaudēšana ⇒ a_n =ar^n-1)

Ģeometriskā secība var būt arī ierobežota vai bezgalīga. Ja terminu skaits ir ierobežots, secība tiek uzskatīta par ierobežotu. Un, ja termini ir bezgalīgi, secība var būt bezgalīga vai ierobežota atkarībā no attiecības r. Kopējā attiecība ietekmē daudzas īpašības ģeometriskās secībās.

r > o	0 < r < +1	Secība saplūst – eksponenciāls samazinājums, t.i., an → 0, n → ∞
	r=1	Pastāvīga secība, t.i., an=konstante
	r > 1	Secība atšķiras – eksponenciāls pieaugums, t.i., an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Secība ir svārstīga, bet saplūst
	r=1	Secība ir mainīga un nemainīga, t.i., an=±konstante
	r < -1	Secība ir mainīga un atšķiras. t.i., an → ±∞, n → ∞
r=0	Secība ir nullju virkne

N. B: visos iepriekš minētajos gadījumos a₁ > 0; ja a₁ < 0, zīmes, kas saistītas ar a_{n, tiks apgrieztas.}

Laika intervāls starp bumbiņas atlēcieniem ideālajā modelī atbilst ģeometriskai secībai, un tā ir konverģenta secība.

Ģeometriskās secības vārdu summa ir pazīstama kā ģeometriskā sērija; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Ģeometrisko sēriju summu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kur a ir sākotnējais vārds un r ir attiecība.}

Ja attiecība r ≤ 1, rinda saplūst. Bezgalīgai rindai konverģences vērtību nosaka ar S_n=a/(1-r)

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko secību/progresiju?

• Aritmētiskā secībā jebkuriem diviem secīgiem terminiem ir kopīga atšķirība (d), savukārt ģeometriskā secībā jebkuriem diviem secīgiem vārdiem ir nemainīgs koeficients (r).

• Aritmētiskā secībā terminu variācija ir lineāra, t.i., caur visiem punktiem var novilkt taisnu līniju. Ģeometriskā sērijā variācija ir eksponenciāla; vai nu aug, vai bojājas, pamatojoties uz kopējo attiecību.

• Visas bezgalīgās aritmētiskās secības ir diverģentas, savukārt bezgalīgas ģeometriskās rindas var būt diverģentas vai konverģentas.

• Ģeometriskā sērija var parādīt svārstības, ja attiecība r ir negatīva, bet aritmētiskā sērija neparāda svārstības