Atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko sēriju

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 13:45

Aritmētiskā pret ģeometrisko sēriju

Sērijas matemātiskā definīcija ir cieši saistīta ar secībām. Secība ir sakārtota skaitļu kopa, un tā var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Skaitļu secība, kuras starpība starp diviem elementiem ir nemainīga, ir pazīstama kā aritmētiskā progresija. Secība ar nemainīgu divu secīgu skaitļu koeficientu ir pazīstama kā ģeometriskā progresija. Šīs progresijas var būt gan ierobežotas, gan bezgalīgas, un, ja tās ir ierobežotas, vārdu skaits ir saskaitāms, pretējā gadījumā – neskaitāms.

Parasti progresijas elementu summu var definēt kā sēriju. Aritmētiskās progresijas summa ir pazīstama kā aritmētiskā sērija. Tāpat ģeometriskās progresijas summu sauc par ģeometrisku sēriju.

Vairāk par aritmētisko sēriju

Aritmētiskajā rindā secīgiem terminiem ir pastāvīga atšķirība.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; kur a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d un tā tālāk.}

Šī atšķirība d ir pazīstama kā kopējā atšķirība, un termins n^th tiek dots ar a_n =a ₁+ (n-1)d; kur a_{1 ir pirmais termins.}

Sērijas darbība mainās, pamatojoties uz kopējo atšķirību d. Ja kopējā atšķirība ir pozitīva, progresija mēdz būt pozitīva bezgalība, un, ja kopējā atšķirība ir negatīva, tā tiecas uz negatīvo bezgalību.

Sērijas summu var iegūt pēc šādas vienkāršas formulas, ko pirmo reizi izstrādāja Indijas astronoms un matemātiķis Arjabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Summa S_{n var būt ierobežota vai bezgalīga, pamatojoties uz terminu skaitu.}

Vairāk par ģeometrisko sēriju

Ģeometriskā sērija ir virkne ar konstantu secīgo skaitļu koeficientu. Tā ir svarīga sērija, kas atrodama, pētot sēriju, jo tai piemītošās īpašības.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Pamatojoties uz koeficientu r, sērijas darbību var iedalīt šādās kategorijās. r={|r|≥1 sērija atšķiras; r≤1 rinda konverģē}. Turklāt, ja r<0 sērija svārstās, t.i., sērijai ir mainīgas vērtības.

Ģeometrisko sēriju summu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu. S_n =a(1-r) / (1-r); kur a ir sākotnējais vārds un r ir attiecība. Ja attiecība r≤1, rinda konverģē. Bezgalīgai rindai konverģences vērtību nosaka ar S_{n=a / (1-r).}

Ģeometriskajai sērijai ir daudz pielietojumu fizisko zinātņu, inženierzinātņu un ekonomikas jomās

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko un ģeometrisko sēriju?

• Aritmētiskā rinda ir virkne ar nemainīgu starpību starp diviem blakus esošiem terminiem.

• Ģeometriskā sērija ir virkne ar nemainīgu koeficientu starp diviem secīgiem terminiem.

• Visas bezgalīgās aritmētiskās rindas vienmēr ir atšķirīgas, taču atkarībā no attiecības ģeometriskās rindas var būt konverģentas vai atšķirīgas.

• Ģeometriskās sērijas vērtībās var būt svārstības; tas ir, skaitļi maina savas zīmes alternatīvi, bet aritmētiskajām rindām nevar būt svārstības.