Laplass pret Furjē transformācijām
Gan Laplasa transformācija, gan Furjē transformācija ir integrālās transformācijas, kuras visbiežāk izmanto kā matemātiskas metodes matemātiski modelētu fizisko sistēmu risināšanai. Process ir vienkāršs. Sarežģīts matemātiskais modelis tiek pārveidots par vienkāršāku, atrisināmu modeli, izmantojot integrālo transformāciju. Kad vienkāršāks modelis ir atrisināts, tiek izmantota apgrieztā integrāļa transformācija, kas nodrošinātu sākotnējā modeļa risinājumu.
Piemēram, tā kā lielākā daļa fizisko sistēmu rada diferenciālvienādojumus, tos var pārvērst algebriskos vienādojumos vai mazākā mērā viegli atrisināmos diferenciālvienādojumos, izmantojot integrālo transformāciju. Tad problēmas risināšana kļūs vienkāršāka.
Kas ir Laplasa transformācija?
Atbilstoši reāla mainīgā t funkcijai f (t), tās Laplasa transformāciju nosaka integrālis [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kad vien tas pastāv), kas ir kompleksa mainīgā s funkcija. To parasti apzīmē ar L { f (t)}. Funkcijas F (s) apgrieztā Laplasa transformācija tiek uzskatīta par funkciju f (t) tādā veidā, ka L { f (t)}=F (s), un parastajā matemātiskajā apzīmējumā mēs rakstām L-1{ F (s)}=f (t). Apgriezto transformāciju var padarīt unikālu, ja nulles funkcijas nav atļautas. Šos divus var identificēt kā lineārus operatorus, kas definēti funkciju telpā, un ir arī viegli redzēt, ka L -1{ L { f (t)}}=f (t), ja nulles funkcijas nav atļautas.
Šajā tabulā ir uzskaitītas dažu visbiežāk sastopamo funkciju Laplasa transformācijas.
Kas ir Furjē transformācija?
Atbilstoši reāla mainīgā t funkcijai f (t), tā Laplasa transformāciju nosaka integrālis [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kad vien tas pastāv), un to parasti apzīmē ar F { f (t)}. Apgrieztā transformācija F -1{ F (α)} tiek dota ar integrāli [latekss] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latekss]. Furjē transformācija ir arī lineāra, un to var uzskatīt par operatoru, kas definēts funkciju telpā.
Izmantojot Furjē transformāciju, sākotnējo funkciju var uzrakstīt šādi, ja funkcijai ir tikai ierobežots pārtraukumu skaits un tā ir absolūti integrējama.
Kāda ir atšķirība starp Laplasa un Furjē transformācijām?
- Funkcijas f (t) Furjē transformācija ir definēta kā [latekss] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latekss], savukārt tā Laplasa transformācija ir definēta kā [latekss] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Furjē transformācija ir definēta tikai funkcijām, kas definētas visiem reālajiem skaitļiem, turpretim Laplasa transformācijai nav nepieciešams, lai funkcija būtu definēta uz negatīvo reālo skaitļu kopas.
- Furjē transformācija ir īpašs Laplasa transformācijas gadījums. Var redzēt, ka nenegatīviem reāliem skaitļiem abi sakrīt. (t.i., ņemt s Laplasā kā iα + β, kur α un β ir reāli, lai e β=1/ √(2ᴫ))
- Katrai funkcijai, kurai ir Furjē transformācija, būs Laplasa transformācija, bet ne otrādi.
