Furjē sērija pret Furjē transformāciju
Furjē sērija sadala periodisku funkciju sinusu un kosinusu summā ar dažādām frekvencēm un amplitūdām. Furjē sērija ir Furjē analīzes nozare, un to ieviesa Džozefs Furjē. Furjē transformācija ir matemātiska darbība, kas sadala signālu tā veidojošās frekvencēs. Sākotnējo signālu, kas laika gaitā mainījās, sauc par signāla laika domēna attēlojumu. Furjē transformāciju sauc par signāla frekvenču domēna attēlojumu, jo tas ir atkarīgs no frekvences. Gan signāla frekvenču domēna attēlojums, gan process, ko izmanto šī signāla pārveidošanai frekvences domēnā, tiek saukti par Furjē transformāciju.
Kas ir Furjē sērija?
Kā minēts iepriekš, Furjē sērija ir periodiskas funkcijas paplašinājums, izmantojot bezgalīgu sinusu un kosinusu summu. Furjē rindas sākotnēji tika izstrādātas, risinot siltuma vienādojumus, bet vēlāk atklājās, ka ar šo pašu paņēmienu var atrisināt lielu matemātisko uzdevumu kopu, īpaši uzdevumus, kas ietver lineārus diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem. Tagad Furjē sērija ir pielietojama daudzās jomās, tostarp elektrotehnikā, vibrāciju analīzē, akustiku, optikā, signālu apstrādē, attēlu apstrādē, kvantu mehānikā un ekonometrikā. Furjē rindas izmanto sinusa un kosinusa funkciju ortogonalitātes attiecības. Furjē rindas aprēķins un izpēte ir pazīstama kā harmoniku analīze un ir ļoti noderīga, strādājot ar patvaļīgām periodiskām funkcijām, jo tā ļauj sadalīt funkciju vienkāršos terminos, ko var izmantot, lai iegūtu sākotnējās problēmas risinājumu.
Kas ir Furjē transformācija?
Furjē transformācija nosaka attiecības starp signālu laika domēnā un tā attēlojumu frekvenču domēnā. Furjē transformācija sadala funkciju oscilācijas funkcijās. Tā kā šī ir transformācija, sākotnējo signālu var iegūt, zinot transformāciju, līdz ar to šajā procesā informācija netiek radīta vai zaudēta. Furjē sērijas pētījums faktiski nodrošina Furjē transformācijas motivāciju. Pateicoties sinusu un kosinusu īpašībām, ir iespējams atgūt katra viļņa devumu summā, izmantojot integrāli. Furjē transformācijai ir dažas pamata īpašības, piemēram, linearitāte, translācija, modulācija, mērogošana, konjugācija, dualitāte un konvolūcija. Furjē transformācija tiek izmantota diferenciālvienādojumu risināšanā, jo Furjē transformācija ir cieši saistīta ar Laplasa transformāciju. Furjē transformāciju izmanto arī kodolmagnētiskajā rezonansē (KMR) un citos spektroskopijas veidos.
Atšķirība starp Furjē sēriju un Furjē transformāciju
Furjē sērija ir periodiska signāla paplašināšana kā lineāra sinusu un kosinusu kombinācija, savukārt Furjē transformācija ir process vai funkcija, ko izmanto, lai pārveidotu signālus no laika domēna frekvences domēnā. Furjē sērija ir definēta periodiskiem signāliem, un Furjē transformāciju var piemērot aperiodiskiem (notiek bez periodiskuma) signāliem. Kā minēts iepriekš, Furjē sērijas izpēte faktiski sniedz motivāciju Furjē transformācijai.
