Lineārais vienādojums pret nelineāro vienādojumu
Matemātikā algebriskie vienādojumi ir vienādojumi, kurus veido, izmantojot polinomus. Ja vienādojumi ir skaidri uzrakstīti, tiem būs forma P(x)=0, kur x ir n nezināmu mainīgo vektors un P ir polinoms. Piemēram, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 ir algebrisks vienādojums divos mainīgos, kas ir skaidri ierakstīti. Turklāt (x+y)3 =3x2y – 3zy4 ir algebrisks vienādojums, bet netiešā formā, un tā būs forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, kad tas ir skaidri uzrakstīts.
Svarīga algebriskā vienādojuma īpašība ir tā pakāpe. Tas ir definēts kā vienādojumā sastopamo terminu augstākā jauda. Ja termins sastāv no diviem vai vairākiem mainīgajiem, katra mainīgā eksponentu summa tiks uzskatīta par termina pakāpi. Ievērojiet, ka saskaņā ar šo definīciju P(x, y)=0 ir 5. pakāpe, bet Q(x, y, z)=0 ir 5. pakāpe.
Lineārie vienādojumi un nelineārie vienādojumi ir divi nodalījumi, kas definēti algebrisko vienādojumu kopā. Vienādojuma pakāpe ir faktors, kas tos atšķir vienu no otra.
Kas ir lineārais vienādojums?
Lineārais vienādojums ir 1. pakāpes algebriskais vienādojums. Piemēram, 4x + 5=0 ir viena mainīgā lineārs vienādojums. x + y + 5z=0 un 4x=3w + 5y + 7z ir attiecīgi 3 un 4 mainīgo lineāri vienādojumi. Parasti n mainīgo lineārais vienādojums būs šāds: m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Šeit xi's ir nezināmie mainīgie, mi un b ir reāli skaitļi, kur katrs no mi nav nulle.
Šāds vienādojums attēlo hiperplakni n-dimensiju Eiklīda telpā. Konkrēti, divu mainīgo lineārais vienādojums attēlo taisnu līniju Dekarta plaknē un trīs mainīgo lineārais vienādojums attēlo plakni Eiklīda 3-telpā.
Kas ir nelineārs vienādojums?
Kvadrātvienādojums ir algebrisks vienādojums, kas nav lineārs. Citiem vārdiem sakot, nelineārs vienādojums ir 2. vai augstākas pakāpes algebriskais vienādojums. x2 + 3x + 2=0 ir viena mainīga nelineārs vienādojums. x2 + y3+ 3xy=4 un 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 ir attiecīgi 3 un 4 mainīgo nelineāro vienādojumu piemēri.
Otrās pakāpes nelineāro vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu. Ja pakāpe ir 3, tad to sauc par kubisko vienādojumu.4. un 5. pakāpes vienādojumi tiek attiecīgi saukti par kvartiskajiem un kvintiskajiem vienādojumiem. Ir pierādīts, ka nepastāv analītiska metode, lai atrisinātu jebkuru 5. pakāpes nelineāru vienādojumu, un tas attiecas arī uz jebkuru augstāku pakāpi. Atrisināmie nelineārie vienādojumi attēlo hipervirsmas, kas nav hiperplaknes.
Kāda ir atšķirība starp lineāro vienādojumu un nelineāro vienādojumu?
• Lineārais vienādojums ir 1. pakāpes algebriskais vienādojums, bet nelineārais vienādojums ir 2. vai augstākas pakāpes algebriskais vienādojums.
• Lai gan jebkurš lineārs vienādojums ir analītiski atrisināms, tas tā nav nelineāros vienādojumos.
• n-dimensiju Eiklīda telpā n-mainīgā lineārā vienādojuma atrisinājuma telpa ir hiperplakne, savukārt n-mainīgā nelineārā vienādojuma atrisinājuma telpa ir hipervirsma, kas nav hiperplakne. (Kvadriķi, kubiskās virsmas utt.)
