Atšķirība starp lineāro vienādojumu un kvadrātvienādojumu

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 13:45

Lineārais vienādojums pret kvadrātvienādojumu

Matemātikā algebriskie vienādojumi ir vienādojumi, kas tiek veidoti, izmantojot polinomus. Ja vienādojumi ir skaidri uzrakstīti, tiem būs forma P(x)=0, kur x ir n nezināmu mainīgo vektors un P ir polinoms. Piemēram, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 ir divu mainīgo algebriskais vienādojums, kas skaidri ierakstīts. Turklāt (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ ir algebrisks vienādojums, bet netiešā formā. Tam būs forma Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, kad tas ir skaidri rakstīts.}

Svarīga algebriskā vienādojuma īpašība ir tā pakāpe. Tas ir definēts kā vienādojumā sastopamo terminu augstākā jauda. Ja termins sastāv no diviem vai vairākiem mainīgajiem, katra mainīgā eksponentu summa tiks uzskatīta par termina pakāpi. Ievērojiet, ka saskaņā ar šo definīciju P(x, y)=0 ir 4. pakāpe, bet Q(x, y, z)=0 ir 5. pakāpe.

Lineārie vienādojumi un kvadrātvienādojumi ir divi dažādi algebrisko vienādojumu veidi. Vienādojuma pakāpe ir faktors, kas tos atšķir no pārējiem algebriskajiem vienādojumiem.

Kas ir lineārais vienādojums?

Lineārais vienādojums ir 1. pakāpes algebriskais vienādojums. Piemēram, 4x + 5=0 ir viena mainīgā lineārs vienādojums. x + y + 5z=0 un 4x=3w + 5y + 7z ir attiecīgi 3 un 4 mainīgo lineāri vienādojumi. Parasti n mainīgo lineārais vienādojums būs šāds: m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Šeit x_i's ir nezināmie mainīgie, m_i un b ir reāli skaitļi, kur katrs no m_i nav nulle.

Šāds vienādojums attēlo hiperplakni n-dimensiju Eiklīda telpā. Konkrēti, divu mainīgo lineārais vienādojums attēlo taisnu līniju Dekarta plaknē un trīs mainīgo lineārais vienādojums attēlo plakni Eiklīda 3-telpā.

Kas ir kvadrātvienādojums?

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums. x² + 3x + 2=0 ir viena mainīga kvadrātvienādojums. x² + y² + 3x=4 un 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 ir attiecīgi 2 un 3 mainīgo kvadrātvienādojumu piemēri.}

Vienā mainīgā gadījumā kvadrātvienādojuma vispārējā forma ir ax² + bx + c=0. Kur a, b, c ir reāli skaitļi, no kuriem “a” nav nulle. Diskriminants ∆=(b^{2 – 4ac) nosaka kvadrātvienādojuma sakņu raksturu. Vienādojuma saknes būs reāli atšķirīgas, reāli līdzīgas un sarežģītas, jo ∆ ir pozitīvs, nulle un negatīvs. Vienādojuma saknes var viegli atrast, izmantojot formulu x=(- b ± √∆) / 2a.}

Divu mainīgo gadījumā vispārīgā forma būtu ax² + ar^{2 + cxy + dx + ex + f=0, un tas apzīmē konisku formu (parabolu, hiperbolu vai elipsi) Dekarta plaknē. Augstākās dimensijās šāda veida vienādojumi attēlo hipervirsmas, kas pazīstamas kā kvadrātveida.}

Kāda ir atšķirība starp lineārajiem un kvadrātvienādojumiem?

• Lineārais vienādojums ir 1. pakāpes algebriskais vienādojums, savukārt kvadrātvienādojums ir 2. pakāpes algebriskais vienādojums.

• N-dimensiju Eiklīda telpā n-mainīgā lineārā vienādojuma atrisinājuma telpa ir hiperplakne, savukārt n-mainīgā kvadrātvienādojuma atrisinājuma telpa ir kvadrātveida virsma.