Varbūtības sadalījuma funkcija pret varbūtības blīvuma funkciju
Varbūtība ir kāda notikuma iespējamība. Šī ideja ir ļoti izplatīta un bieži tiek izmantota ikdienas dzīvē, kad mēs novērtējam savas iespējas, darījumus un daudzas citas lietas. Šīs vienkāršās koncepcijas attiecināšana uz lielāku notikumu kopumu ir nedaudz grūtāka. Piemēram, mēs nevaram viegli izdomāt izredzes laimēt loterijā, taču ir ērti, diezgan intuitīvi teikt, ka pastāv iespēja, ka viens no sešiem mēs iegūsim sesto numuru, izmetot kauliņu.
Kad notikumu skaits, kas var notikt, kļūst arvien lielāks vai individuālo iespēju skaits ir liels, šī diezgan vienkāršā varbūtības ideja neizdodas. Tāpēc, pirms pievērsties sarežģītākām problēmām, tai ir jāsniedz precīza matemātiska definīcija.
Kad notikumu skaits, kas var notikt vienā situācijā, ir liels, katru notikumu atsevišķi nav iespējams uzskatīt par tādu, kāds ir piemērā ar kauliņu mešanu. Tādējādi viss notikumu kopums ir apkopots, ieviešot nejaušā mainīgā jēdzienu. Tas ir mainīgais, kas var pieņemt dažādu notikumu vērtības konkrētajā situācijā (vai izlases telpā). Tas sniedz matemātisku jēgu vienkāršiem notikumiem situācijā un matemātisko veidu, kā risināt notikumu. Precīzāk, nejaušais mainīgais ir reālas vērtības funkcija pār parauga telpas elementiem. Nejaušie mainīgie var būt diskrēti vai nepārtraukti. Parasti tos apzīmē ar angļu alfabēta lielajiem burtiem.
Varbūtības sadalījuma funkcija (vai vienkārši, varbūtības sadalījums) ir funkcija, kas katram notikumam piešķir varbūtības vērtības; i., tas nodrošina sakarību ar varbūtību vērtībām, kuras var iegūt nejaušais mainīgais. Varbūtības sadalījuma funkcija ir definēta diskrētiem nejaušiem mainīgajiem.
Varbūtības blīvuma funkcija ir līdzvērtīga iespējamības sadalījuma funkcijai nepārtrauktiem gadījuma mainīgajiem, dod iespēju, ka noteikts gadījuma lielums pieņems noteiktu vērtību.
Ja X ir diskrēts gadījuma lielums, funkciju, kas norādīta kā f (x)=P (X=x) katram x, kas atrodas X diapazonā, sauc par varbūtības sadalījuma funkciju. Funkcija var kalpot kā varbūtības sadalījuma funkcija tad un tikai tad, ja funkcija atbilst šādiem nosacījumiem.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkciju f (x), kas definēta virs reālo skaitļu kopas, sauc par nepārtrauktā gadījuma lieluma X varbūtības blīvuma funkciju tad un tikai tad, ja
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx visām reālajām konstantēm a un b.
Varbūtības blīvuma funkcijai ir jāatbilst arī šādiem nosacījumiem.
1. f (x) ≥ 0 visiem x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Gan varbūtības sadalījuma funkcija, gan varbūtības blīvuma funkcija tiek izmantota, lai attēlotu varbūtību sadalījumu parauga telpā. Parasti tos sauc par varbūtības sadalījumiem.
Statistikas modelēšanai tiek atvasinātas standarta varbūtības blīvuma funkcijas un varbūtības sadalījuma funkcijas. Normālais sadalījums un standarta normālais sadalījums ir nepārtraukto varbūtības sadalījumu piemēri. Binomiālais sadalījums un Puasona sadalījums ir diskrētu varbūtības sadalījumu piemēri.
Kāda ir atšķirība starp varbūtības sadalījumu un varbūtības blīvuma funkciju?
• Varbūtības sadalījuma funkcija un varbūtības blīvuma funkcija ir funkcijas, kas definētas parauga telpā, lai katram elementam piešķirtu attiecīgo varbūtības vērtību.
• Diskrētajiem nejaušajiem mainīgajiem ir definētas varbūtības sadalījuma funkcijas, savukārt nepārtrauktajiem gadījuma lielumiem ir definētas varbūtības blīvuma funkcijas.
• Varbūtības vērtību sadalījumu (t.i., varbūtības sadalījumu) vislabāk var attēlot ar varbūtības blīvuma funkciju un varbūtības sadalījuma funkciju.
• Varbūtības sadalījuma funkciju var attēlot kā vērtības tabulā, bet tas nav iespējams varbūtības blīvuma funkcijai, jo mainīgais ir nepārtraukts.
• Atzīmējot, varbūtības sadalījuma funkcija nodrošina joslu diagrammu, bet varbūtības blīvuma funkcija - līkni.
• Varbūtības sadalījuma funkcijas stieņu augstumam/garumam ir jāpievieno 1, savukārt laukumam zem varbūtības blīvuma funkcijas līknes jāpieskaita 1.
• Abos gadījumos visām funkcijas vērtībām jābūt nenegatīvām.
