Diskrētā funkcija pret nepārtrauktu funkciju
Funkcijas ir viena no svarīgākajām matemātisko objektu klasēm, ko plaši izmanto gandrīz visās matemātikas apakšnozarēs. Kā liecina to nosaukumi, gan diskrētās funkcijas, gan nepārtrauktās funkcijas ir divi īpaši funkciju veidi.
Funkcija ir saistība starp divām kopām, kas definētas tā, ka katram elementam pirmajā kopā vērtība, kas tam atbilst otrajā kopā, ir unikāla. Lai f ir funkcija, kas definēta no kopas A kopā B. Tad katram x ϵ A simbols f (x) apzīmē unikālo vērtību kopā B, kas atbilst x. To sauc par x attēlu zem f. Tāpēc attiecība f no A uz B ir funkcija tad un tikai tad, ja katram xϵ A un y ϵ A; ja x=y, tad f (x)=f (y). Kopu A sauc par funkcijas f domēnu, un tā ir kopa, kurā funkcija ir definēta.
Piemēram, apsveriet attiecību f no R uz R, kas definēta ar f (x)=x + 2 katram xϵ A. Šī ir funkcija, kuras domēns ir R, tāpat kā katram reālajam skaitlim x un y, x=y nozīmē f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Bet sakarība g no N uz N, kas definēta ar g (x)=a, kur 'a' ir x pirmfaktors, nav funkcija, jo g (6)=3, kā arī g (6)=2.
Kas ir diskrēta funkcija?
Diskrēta funkcija ir funkcija, kuras domēns ir ne vairāk kā saskaitāms. Vienkārši tas nozīmē, ka ir iespējams izveidot sarakstu, kurā ir iekļauti visi domēna elementi.
Jebkura ierobežota kopa ir maksimāli saskaitāma. Naturālo skaitļu kopa un racionālo skaitļu kopa ir piemēri ne vairāk kā saskaitāmām bezgalīgām kopām. Reālo skaitļu kopa un iracionālo skaitļu kopa nav saskaitāma. Abi komplekti ir nesaskaitāmi. Tas nozīmē, ka nav iespējams izveidot sarakstu, kurā būtu iekļauti visi šo kopu elementi.
Viena no visizplatītākajām diskrētajām funkcijām ir faktoriālā funkcija. f:N U{0}→N, kas rekursīvi definēts ar f (n)=n f (n-1) katram n ≥ 1 un f (0)=1, sauc par faktoriālo funkciju. Ievērojiet, ka tā domēns N U{0} ir ne vairāk kā saskaitāms.
Kas ir nepārtraukta funkcija?
Lai f ir tāda funkcija, ka katram k f apgabalā f (x) → f (k) kā x → k. Tad f ir nepārtraukta funkcija. Tas nozīmē, ka ir iespējams padarīt f (x) patvaļīgi tuvu f (k), padarot x pietiekami tuvu k katram k f apgabalā.
Aplūkosim funkciju f (x)=x + 2 uz R. Var redzēt, ka kā x → k, x + 2 → k + 2, kas ir f (x) → f (k). Tāpēc f ir nepārtraukta funkcija. Tagad apsveriet g uz pozitīviem reāliem skaitļiem g (x)=1, ja x > 0 un g (x)=0, ja x=0. Tad šī funkcija nav nepārtraukta funkcija, jo g (x) robeža nepastāv (un līdz ar to tā nav vienāda ar g (0)), jo x → 0.
Kāda ir atšķirība starp diskrētu un nepārtrauktu funkciju?
• Diskrētā funkcija ir funkcija, kuras domēns ir ne vairāk kā saskaitāms, bet tam nav jābūt nepārtrauktām funkcijām.
• Visām nepārtrauktajām funkcijām ƒ ir īpašība, ka ƒ(x)→ƒ(k) kā x → k katram x un katram k ƒ apgabalā, bet tas tā nav dažās diskrētās funkcijās..
