Paralelogramma pret četrstūri
Četrstūri un paralelogrami ir Eiklīda ģeometrijā atrodami daudzstūri. Paralēlogramma ir īpašs četrstūra gadījums. Četrstūri var būt plakani (2D) vai trīsdimensiju, savukārt paralelogrami vienmēr ir plakani.
Četrstūris
Četrstūris ir daudzstūris ar četrām malām. Tam ir četras virsotnes, un iekšējo leņķu summa ir 3600 (2π rad). Četrstūri tiek klasificēti paškrustojošos un vienkāršos četrstūra kategorijās. Paškrustojošiem četrstūriem ir divas vai vairākas malas, kas šķērso viena otru, un mazākas ģeometriskas figūras (piemēram, trijstūri tiek veidoti četrstūra iekšpusē).
Vienkāršos četrstūrus iedala arī izliektos un ieliektos četrstūros. Ieliektiem četrstūriem ir blakus malas, kas veido refleksu leņķus figūras iekšpusē. Vienkāršie četrstūri, kuriem iekšēji nav refleksu leņķu, ir izliekti četrstūri. Izliektajiem četrstūriem vienmēr var būt teselācijas.
Lielākā daļa no četrstūru ģeometrijas sākuma līmeņos attiecas uz izliektajiem četrstūriem. Daži četrstūri mums ir ļoti pazīstami no pamatskolas laikiem. Tālāk ir parādīta diagramma, kurā parādīti dažādi izliekti četrstūri.
Paralelogramma
Paralelogrammu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām, kuru pretējās malas ir paralēlas viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem paralēlu malu pāriem. Šis paralēlais raksturs piešķir paralelogramiem daudzus ģeometriskus raksturlielumus.
Četrstūris ir paralelograms, ja tiek atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.
• Divi pretējo malu pāri ir vienādi garumā. (AB=DC, AD=BC)
• Divi pretējo leņķu pāri ir vienādi pēc izmēra. ([latekss]D\cepure{A}B=B\hat{C}D, A\cepure{D}C=A\cepure{B}C[/latekss])
• Ja blakus leņķi ir papildu [latekss]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latekss]
• Pāris malas, kas atrodas viena otrai pretī, ir paralēlas un vienāda garuma. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonāles sadala viena otru (AO=OC, BO=OD)
• Katra diagonāle sadala četrstūri divos kongruentos trīsstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Turklāt malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz dēvē par paralelogrammu likumu, un to plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Katru no iepriekšminētajiem raksturlielumiem var izmantot kā rekvizītus, ja ir noskaidrots, ka četrstūris ir paralelograms.
Paralelograma laukumu var aprēķināt, reizinot vienas malas garumu un pretējās malas augstumu. Tāpēc paralelograma laukumu var norādīt kā
Paralelograma laukums=pamatne × augstums=AB×h
Paralelograma laukums nav atkarīgs no atsevišķa paralelograma formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulāra augstuma.
Ja paralelograma malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora reizinājuma (krustreizinājuma).
Ja malas AB un AD attēlo attiecīgi vektori ([latekss]\overrightarrow{AB}[/latex]) un ([latekss]\overrightarrow{AD}[/latex]), paralelogramu uzrāda [latekss]\pa kreisi | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latekss], kur α ir leņķis starp [lateksu]\overright arrow{AB}[/latex] un [latex]\overright arrow{AD}[/latex].
Tālāk ir norādītas dažas paralelograma uzlabotās īpašības;
• Paralelograma laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko rada jebkura tā diagonāle.
• Paralelograma laukumu dala uz pusēm ar jebkuru taisni, kas iet caur viduspunktu.
• Jebkura nedeģenerēta afīna transformācija pārņem paralelogramu uz citu paralelogramu
• Paralelogramam ir 2. kārtas rotācijas simetrija
• Attālumu summa no jebkura paralelograma iekšējā punkta līdz malām nav atkarīga no punkta atrašanās vietas
Kāda ir atšķirība starp paralelogrammu un četrstūri?
• Četrstūri ir daudzstūri ar četrām malām (dažreiz saukti par tetrastūriem), savukārt paralelograms ir īpašs četrstūra veids.
• Četrstūriem var būt malas dažādās plaknēs (3D telpā), kamēr visas paralelograma malas atrodas vienā plaknē (plaknē/2dimensiju).
• Četrstūra iekšējiem leņķiem var būt jebkura vērtība (ieskaitot refleksu leņķus), lai tie kopā sasniegtu 3600. Paralēlogrammās var būt tikai strups leņķis kā maksimālais leņķa veids.
• Četras četrstūra malas var būt dažāda garuma, savukārt paralelograma pretējās malas vienmēr ir paralēlas viena otrai un vienādas garumā.
• Jebkura diagonāle sadala paralelogramu divos kongruentos trīsstūros, savukārt trijstūri, ko veido vispārējā četrstūra diagonāle, ne vienmēr ir sakrīt.
