Paralelogramma vs trapece
Paralelogramma un trapece (vai trapece) ir divi izliekti četrstūri. Lai gan tie ir četrstūri, trapeces ģeometrija būtiski atšķiras no paralelogramiem.
Paralelogramma
Paralelogrammu var definēt kā ģeometrisku figūru ar četrām malām, kuru pretējās malas ir paralēlas viena otrai. Precīzāk, tas ir četrstūris ar diviem paralēlu malu pāriem. Šis paralēlais raksturs piešķir paralelogramiem daudzus ģeometriskus raksturlielumus.
Četrstūris ir paralelograms, ja tiek atrasti šādi ģeometriskie raksturlielumi.
• Divi pretējo malu pāri ir vienādi garumā. (AB=DC, AD=BC)
• Divi pretējo leņķu pāri ir vienādi pēc izmēra. ([latekss]D\cepure{A}B=B\hat{C}D, A\cepure{D}C=A\cepure{B}C[/latekss])
• Ja blakus leņķi ir papildu [latekss]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latekss]
• Pāris malas, kas atrodas viena otrai pretī, ir paralēlas un vienāda garuma. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonāles sadala viena otru (AO=OC, BO=OD)
• Katra diagonāle sadala četrstūri divos kongruentos trīsstūros. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Turklāt malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu. To dažreiz dēvē par paralelogrammu likumu, un to plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Katru no iepriekšminētajiem raksturlielumiem var izmantot kā rekvizītus, ja ir noskaidrots, ka četrstūris ir paralelograms.
Paralelograma laukumu var aprēķināt, reizinot vienas malas garumu un pretējās malas augstumu. Tāpēc paralelograma laukumu var norādīt kā
Paralelograma laukums=pamatne × augstums=AB×h
Paralelograma laukums nav atkarīgs no atsevišķa paralelograma formas. Tas ir atkarīgs tikai no pamatnes garuma un perpendikulāra augstuma.
Ja paralelograma malas var attēlot ar diviem vektoriem, laukumu var iegūt pēc divu blakus esošo vektoru vektora reizinājuma (krustreizinājuma).
Ja malas AB un AD attēlo attiecīgi vektori ([latekss]\overrightarrow{AB}[/latex]) un ([latekss]\overrightarrow{AD}[/latex]), paralelogramu uzrāda [latekss]\pa kreisi | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latekss], kur α ir leņķis starp [lateksu]\overright arrow{AB}[/latex] un [latex]\overright arrow{AD}[/latex].
Tālāk ir norādītas dažas paralelograma uzlabotās īpašības;
• Paralelograma laukums ir divreiz lielāks par trijstūra laukumu, ko rada jebkura tā diagonāle.
• Paralelograma laukumu dala uz pusēm ar jebkuru taisni, kas iet caur viduspunktu.
• Jebkura nedeģenerēta afīna transformācija pārņem paralelogramu uz citu paralelogramu
• Paralelogramam ir 2. kārtas rotācijas simetrija
• Attālumu summa no jebkura paralelograma iekšējā punkta līdz malām nav atkarīga no punkta atrašanās vietas
Trapece
Trapecveida (jeb britu angļu valodā Trapezium) ir izliekts četrstūris, kura vismaz divas malas ir paralēlas un nevienāda garumā. Trapeces paralēlās malas ir pazīstamas kā pamatnes, bet pārējās divas malas sauc par kājām.
Tālāk ir norādīti galvenie trapecveida raksturlielumi;
• Ja blakus esošie leņķi neatrodas uz viena trapeces pamata, tie ir papildu leņķi. t.i., tie summējas līdz 180° ([latekss]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latekss])
• Abas trapeces diagonāles krustojas ar vienādu attiecību (attiecība starp diagonāļu griezumiem ir vienāda).
• Ja a un b ir bāzes un c, d ir kājas, diagonāļu garumus nosaka ar
[latekss]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latekss]
un
[latekss]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Trapeces laukumu var aprēķināt, izmantojot šādu formulu
Trapecveida laukums=[latekss]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Kāda ir atšķirība starp paralelogrammu un trapecveida formu (trapeci)?
• Gan paralelograms, gan trapecveida forma ir izliekti četrstūri.
• Paralēlogrammā abi pretējo malu pāri ir paralēli, savukārt trapecveidā tikai pāris ir paralēli.
• Paralelograma diagonāles sadala viena otru uz pusēm (attiecība 1:1), savukārt trapeces diagonāles krustojas ar nemainīgu griezumu attiecību.
• Paralelograma laukums ir atkarīgs no augstuma un pamatnes, savukārt trapeces laukums ir atkarīgs no augstuma un segmenta vidus.
• Divi trijstūri, ko paralelogramā veido diagonāle, vienmēr ir kongruenti, savukārt trapeces trijstūri var būt vai nu saskanīgi, vai ne.
