Asociatīvais vs komutatīvais
Ikdienas dzīvē mums ir jāizmanto skaitļi, kad vien mums ir nepieciešams kaut ko novērtēt. Pārtikas veikalā, degvielas uzpildes stacijā un pat virtuvē mums ir jāsaskaita, jāatņem un jāreizina divi vai vairāki daudzumi. No mūsu prakses mēs šos aprēķinus veicam diezgan bez piepūles. Mēs nekad nepamanām un neapšaubām, kāpēc mēs veicam šīs darbības šādā veidā. Vai arī kāpēc šos aprēķinus nevar veikt citā veidā. Atbilde ir paslēpta veidā, kā šīs darbības tiek definētas algebras matemātiskajā laukā.
Algebrā darbība, kas ietver divus lielumus (piemēram, saskaitīšana), tiek definēta kā bināra darbība. Precīzāk, tā ir darbība starp diviem elementiem no kopas, un šos elementus sauc par “operandu”. Daudzas matemātikas operācijas, tostarp iepriekš minētās aritmētiskās darbības, kā arī tās, kas sastopamas kopu teorijā, lineārajā algebrā un matemātiskajā loģikā, var definēt kā bināras darbības.
Pastāv regulējošu noteikumu kopums, kas attiecas uz konkrētu bināro darbību. Asociatīvās un komutatīvās īpašības ir divas bināro operāciju pamatīpašības.
Vairāk par komutatīvo īpašumu
Pieņemsim, ka elementiem A un B tiek veikta kāda bināra darbība, kas apzīmēta ar simbolu ⊗. Ja operandu secība neietekmē darbības rezultātu, tad tiek uzskatīts, ka darbība ir komutatīva. i., ja A ⊗ B=B ⊗ A, tad darbība ir komutatīva.
Aritmētiskās operācijas saskaitīšana un reizināšana ir komutatīvas. Saskaitīto vai reizināto skaitļu secība neietekmē galīgo atbildi:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Bet dalīšanas gadījumā secības maiņa dod otras apgriezto vērtību, un, atņemot, izmaiņas dod otras negatīvo vērtību. Tāpēc
A – B ≠ B – A ⇒ 4–5=-1 un 5–4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 un 5 ÷ 4=1,25 [šajā gadījumā A, B ≠ 1 un 0
Patiesībā tiek teikts, ka atņemšana ir pretkomutatīva; kur A – B=– (B – A).
Arī loģiskie savienojumi, savienojums, disjunkcija, implikācija un ekvivalence ir komutatīvas. Patiesības funkcijas ir arī komutatīvas. Kopas operāciju savienība un krustojums ir komutatīvas. Arī vektoru saskaitīšana un skalārais reizinājums ir komutatīvs.
Bet vektoru atņemšana un vektora reizinājums nav komutatīva (divu vektoru vektorreizinājums ir pretkomutatīvs). Matricas saskaitīšana ir komutatīva, bet reizināšana un atņemšana nav komutatīva.(Divu matricu reizināšana var būt komutatīva īpašos gadījumos, piemēram, matricas reizināšana ar tās apgriezto vai identitātes matricu; taču noteikti matricas nav komutatīvas, ja matricas nav vienāda izmēra)
Vairāk par Asociatīvo īpašumu
Binārā darbība tiek uzskatīta par asociatīvu, ja izpildes secība neietekmē rezultātu, ja ir divi vai vairāki operatora gadījumi. Aplūkosim elementus A, B un C un bināro darbību ⊗. Tiek uzskatīts, ka operācija ⊗ ir asociatīva, ja
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
No pamata aritmētiskajām funkcijām tikai saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Atņemšana un dalīšana nav asociatīva;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5–3)=2 un (5–4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 un (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Loģisko savienojumu disjunkcija, konjunkcija un ekvivalence ir asociatīvas, tāpat kā kopas operāciju savienība un krustojums. Matricas un vektora pievienošana ir asociatīva. Vektoru skalārais reizinājums ir asociatīvs, bet vektoru reizinājums nav. Matricas reizināšana ir asociatīva tikai īpašos apstākļos.
Kāda ir atšķirība starp komutatīvajiem un asociatīvajiem īpašumiem?
• Gan asociatīvā īpašība, gan komutatīvā īpašība ir īpašas bināro darbību īpašības, un dažas tās apmierina, bet dažas ne.
• Šīs īpašības var redzēt daudzos algebrisko un citu bināro operāciju veidos matemātikā, piemēram, krustpunktā un savienojumā kopu teorijā vai loģiskajos savienojumos.
• Atšķirība starp komutatīvo un asociatīvo ir tāda, ka komutatīvā īpašība norāda, ka elementu secība nemaina gala rezultātu, savukārt asociatīvā īpašība norāda, ka secība, kādā darbība tiek veikta, neietekmē galīgo atbildi..
