Atvasinātais vs diferenciāls
Diferenciālrēķinos funkcijas atvasinājums un diferenciālis ir cieši saistīti, taču tiem ir ļoti atšķirīga nozīme, un tos izmanto, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskos objektus, kas saistīti ar diferencējamām funkcijām.
Kas ir atvasinājums?
Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadei. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību maiņas virziena. Tāpēc šādos gadījumos tiek izvēlēts konkrēts virziens un funkcija tiek diferencēta konkrētajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļēji atvasinājumi ir īpašs virziena atvasinājumu veids.
Vektora vērtības funkcijas f atvasinājumu var definēt kā ierobežojumu [latekss]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \līdz 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latekss] neatkarīgi no tā, kur tas pastāv. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas f pieauguma ātrumu vektora u virzienā. Vienas vērtības funkcijas gadījumā tas tiek samazināts līdz labi zināmajai atvasinājuma definīcijai [latekss]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\līdz 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Piemēram, [latekss]f(x)=x^{3}+4x+5[/latekss] ir visur diferencējams, un atvasinājums ir vienāds ar ierobežojumu [latekss]\\lim_{h \\uz 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latekss], kas ir vienāds ar [latekss]3x^{2}+4[/latekss]. Tādu funkciju atvasinājumi kā [latekss]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] pastāv visur. Tie ir attiecīgi vienādi ar funkcijām [latekss]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tas ir zināms kā pirmais atvasinājums. Parasti funkcijas f pirmo atvasinājumu apzīmē ar f (1) Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams definēt augstākas kārtas atvasinājumus. [latekss]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ līdz 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latekss] ir otrās kārtas virziena atvasinājums, kas apzīmē n th atvasinājumu ar f (n) par katru n, [latekss]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\līdz 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latekss], definē n th atvasinājumu.
Kas ir atšķirība?
Funkcijas diferenciālis attēlo izmaiņas funkcijā attiecībā pret izmaiņām neatkarīgajā mainīgajā vai mainīgajos. Parastā apzīmējumā viena mainīgā x noteiktai funkcijai f kopējo diferenciāli 1. kārtas df aprēķina šādi: [latekss]df=f^{1}(x)dx[/latekss]. Tas nozīmē, ka bezgalīgi mazām x izmaiņām (t.i., d x) f (1)(x)d x mainīsies f.
Izmantojot ierobežojumus, šo definīciju var iegūt šādi. Pieņemsim, ka ∆ x ir x izmaiņas patvaļīgā punktā x un ∆ f ir attiecīgās funkcijas f izmaiņas. Var parādīt, ka ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kur ϵ ir kļūda. Tagad ierobežojums ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (izmantojot iepriekš minēto atvasinājuma definīciju) un tādējādi ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Tāpēc ir iespējams secināt, ka ∆ x→ 0 ϵ=0. Tagad, apzīmējot ∆ x→ 0 ∆ f kā d f un ∆ x→ 0 ∆ x kā d x, diferenciāļa definīcija ir precīzi iegūta.
Piemēram, funkcijas [latekss]f(x)=x^{3}+4x+5[/latekss] diferenciālis ir [latekss](3x^{2}+4)dx[/latekss].
Divu vai vairāku mainīgo funkciju gadījumā funkcijas kopējo diferenciāli definē kā atšķirību summu katra neatkarīgā mainīgā virzienos. Matemātiski to var norādīt kā [latekss]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Kāda ir atšķirība starp atvasinājumu un diferenciāli?
• Atvasinājums attiecas uz funkcijas izmaiņu ātrumu, turpretim diferenciālis attiecas uz faktiskajām funkcijas izmaiņām, kad neatkarīgais mainīgais tiek pakļauts izmaiņām.
• Atvasinājumu dod [latekss]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latekss], bet diferenciālis ir norādīts kā [latekss]df=f^{1}(x)dx[/latex].
