Diferencēšana pret atvasinājumu
Diferenciālrēķinos atvasinājums un diferenciācija ir cieši saistīti, taču ļoti atšķirīgi, un tos izmanto, lai attēlotu divus svarīgus matemātiskos jēdzienus, kas saistīti ar funkcijām.
Kas ir atvasinājums?
Funkcijas atvasinājums mēra ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās ievadei. Vairāku mainīgo funkcijās funkcijas vērtības izmaiņas ir atkarīgas no neatkarīgo mainīgo vērtību maiņas virziena. Tāpēc šādos gadījumos tiek izvēlēts konkrēts virziens un funkcija tiek diferencēta konkrētajā virzienā. Šo atvasinājumu sauc par virziena atvasinājumu. Daļēji atvasinājumi ir īpašs virziena atvasinājumu veids.
Vektora vērtības funkcijas f atvasinājumu var definēt kā ierobežojumu [latekss]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \līdz 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latekss] neatkarīgi no tā, kur tas pastāv. Kā minēts iepriekš, tas dod mums funkcijas f pieauguma ātrumu vektora u virzienā. Vienas vērtības funkcijas gadījumā tas tiek samazināts līdz labi zināmajai atvasinājuma definīcijai [latekss]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\līdz 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Piemēram, [latekss]f(x)=x^{3}+4x+5[/latekss] ir visur diferencējams, un atvasinājums ir vienāds ar ierobežojumu [latekss]\\lim_{h \\uz 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latekss], kas ir vienāds ar [latekss]3x^{2}+4[/latekss]. Tādu funkciju atvasinājumi kā [latekss]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] pastāv visur. Tie ir attiecīgi vienādi ar funkcijām [latekss]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tas ir zināms kā pirmais atvasinājums. Parasti funkcijas f pirmo atvasinājumu apzīmē ar f (1) Tagad, izmantojot šo apzīmējumu, ir iespējams definēt augstākas kārtas atvasinājumus. [latekss]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ līdz 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latekss] ir otrās kārtas virziena atvasinājums, kas apzīmē n th atvasinājumu ar f (n) par katru n, [latekss]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\līdz 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latekss], definē n th atvasinājumu.
Kas ir diferencēšana?
Diferencēšana ir diferencējamas funkcijas atvasinājuma atrašanas process. D-operators, kas apzīmēts ar D, dažos kontekstos atspoguļo diferenciāciju. Ja x ir neatkarīgais mainīgais, tad D ≡ d/dx. D-operators ir lineārs operators, t.i., jebkurai divām diferencējamām funkcijām f un g un konstantei c, seko šādas īpašības.
Es. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Izmantojot D-operatoru, citus noteikumus, kas saistīti ar diferenciāciju, var izteikt šādi. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2un D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Piemēram, ja F(x)=x 2sin x tiek diferencēts attiecībā pret x, izmantojot dotos noteikumus, atbilde būs 2 x sin x + x2cos x.
Kāda ir atšķirība starp diferenciāciju un atvasinājumu?• Atvasinājums attiecas uz funkcijas izmaiņu ātrumu • Diferencēšana ir funkcijas atvasinājuma atrašanas process. |
