Atvasinātais vs integrāls
Diferencēšana un integrācija ir divas Calculus pamatoperācijas. Viņiem ir daudz pielietojumu vairākās jomās, piemēram, matemātikā, inženierzinātnēs un fizikā. Gan atvasinājums, gan integrālis apspriež mūs interesējošas fiziskas entītijas funkcijas vai uzvedību.
Kas ir atvasinājums?
Pieņemsim, ka y=ƒ(x) un x0 atrodas ƒ domēnā. Tad limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx sauc par momentāno ƒ izmaiņu ātrumu pie x0, ja šis ierobežojums pastāv ierobežoti. Šo ierobežojumu sauc arī par atvasinājumu no atvasinājuma un apzīmē ar ƒ(x).
Funkcijas f atvasinājuma vērtību patvaļīgā punktā x funkcijas apgabalā dod limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. To apzīmē ar jebkuru no šīm izteiksmēm: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Funkcijām ar vairākiem mainīgajiem mēs definējam daļēju atvasinājumu. Funkcijas ar vairākiem mainīgajiem daļējs atvasinājums ir tās atvasinājums attiecībā pret vienu no šiem mainīgajiem, pieņemot, ka pārējie mainīgie ir konstantes. Daļējā atvasinājuma simbols ir ∂.
Ģeometriski funkcijas atvasinājumu var interpretēt kā funkcijas ƒ(x) līknes slīpumu.
Kas ir integrāls?
Integrācija jeb antidiferenciācija ir apgriezts diferenciācijas process. Citiem vārdiem sakot, tas ir sākotnējās funkcijas atrašanas process, kad tiek norādīts funkcijas atvasinājums. Tāpēc funkcijas ƒ(x) integrāli vai antiatvasinājumu, ja ƒ(x)=F(x) var definēt kā funkciju F(x) visiem x ƒ(x) apgabalā.
Izteiksme ∫ƒ(x) dx apzīmē funkcijas ƒ(x) atvasinājumu. Ja ƒ(x)=F (x), tad ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kur C ir konstante, ∫ƒ(x) dx sauc par ƒ(x) nenoteikto integrāli.
Jebkurai funkcijai ƒ, kas ne vienmēr ir nenegatīva un definēta intervālā [a, b], a∫b ƒ(x) dx sauc par noteiktu integrāli ƒ uz [a, b].
Funkcijas ƒ(x) noteiktais integrālis a∫bƒ(x) dx var ģeometriski interpretēt kā funkcijas laukumu. apgabals, ko ierobežo līkne ƒ(x), x-ass un līnijas x=a un x=b.
Kāda ir atšķirība starp atvasinājumu un integrālo?
• Atvasinājums ir procesa diferenciācijas rezultāts, savukārt integrālis ir procesa integrācijas rezultāts.
• Funkcijas atvasinājums attēlo līknes slīpumu jebkurā noteiktā punktā, savukārt integrālis apzīmē laukumu zem līknes.
