Nejauši mainīgie pret varbūtības sadalījumu
Statistikas eksperimenti ir nejauši eksperimenti, kurus var atkārtot bezgalīgi ar zināmu rezultātu kopu. Ar šādiem eksperimentiem ir saistīti gan nejaušie mainīgie, gan varbūtības sadalījumi. Katram nejaušam mainīgajam ir saistīts varbūtības sadalījums, ko nosaka funkcija, ko sauc par kumulatīvā sadalījuma funkciju.
Kas ir nejaušais mainīgais?
Nejaušais mainīgais ir funkcija, kas statistiskā eksperimenta rezultātiem piešķir skaitliskas vērtības. Citiem vārdiem sakot, tā ir funkcija, kas definēta no statistikas eksperimenta izlases telpas reālo skaitļu kopā.
Piemēram, apsveriet nejaušu eksperimentu, divreiz apmetot monētu. Iespējamie iznākumi ir HH, HT, TH un TT (H – galvas, T – pasakas). Lai mainīgais X ir eksperimentā novēroto galvu skaits. Tad X var iegūt vērtības 0, 1 vai 2, un tas ir nejaušs mainīgais. Šeit nejaušais mainīgais X kartēs kopu S={HH, HT, TH, TT} (izlases vietu) ar kopu {0, 1, 2} tādā veidā, ka HH tiek kartēts uz 2, HT un TH. ir kartētas uz 1 un TT ir kartētas uz 0. Funkcijas apzīmējumā to var uzrakstīt kā X: S → R kur X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 un X(TT)=0.
Ir divu veidu nejaušie mainīgie: diskrētie un nepārtrauktie, attiecīgi iespējamo vērtību skaits, ko nejaušais mainīgais var pieņemt, ir saskaitāms vai ne. Iepriekšējā piemērā nejaušais mainīgais X ir diskrēts gadījuma lielums, jo {0, 1, 2} ir ierobežota kopa. Tagad apsveriet statistisko eksperimentu, lai atrastu skolēnu svaru klasē. Ļaujiet Y būt nejaušam mainīgajam, kas definēts kā studenta svars. Y var iegūt jebkuru reālo vērtību noteiktā intervālā. Tādējādi Y ir nepārtraukts gadījuma mainīgais.
Kas ir varbūtības sadalījums?
Varbūtības sadalījums ir funkcija, kas apraksta varbūtību, ka gadījuma lielums iegūst noteiktas vērtības.
Funkciju, ko sauc par kumulatīvā sadalījuma funkciju (F), var definēt no reālo skaitļu kopas līdz reālo skaitļu kopai kā F(x)=P(X ≤ x) (varbūtība, ka X ir mazāka par vai vienāds ar x) katram iespējamajam rezultātam x. Tagad X kumulatīvā sadalījuma funkciju pirmajā piemērā var uzrakstīt kā F(a)=0, ja a<0; F(a)=0,25, ja 0≤a<1; F(a)=0,75, ja 1≤a<2 un F(a)=1, ja a≥2.
Diskrētu gadījuma lielumu gadījumā funkciju var definēt no iespējamo rezultātu kopas līdz reālo skaitļu kopai tā, lai ƒ(x)=P(X=x) (X varbūtība ir vienāds ar x) katram iespējamajam rezultātam x. Šo īpašo funkciju ƒ sauc par nejaušā lieluma X varbūtības masas funkciju. Tagad X varbūtības masas funkciju pirmajā konkrētajā piemērā var uzrakstīt kā ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25 un ƒ(x)=0 citādi. Tādējādi varbūtības masas funkcija kopā ar kumulatīvo sadalījuma funkciju aprakstīs X varbūtības sadalījumu pirmajā piemērā.
Nepārtrauktu gadījuma lielumu gadījumā funkciju, ko sauc par varbūtības blīvuma funkciju (ƒ), var definēt kā ƒ(x)=dF(x)/dx katram x, kur F ir kumulatīvā sadalījuma funkcija. nepārtraukts gadījuma mainīgais. Ir viegli redzēt, ka šī funkcija apmierina ∫ƒ(x)dx=1. Varbūtības blīvuma funkcija kopā ar kumulatīvā sadalījuma funkciju apraksta nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības sadalījumu. Piemēram, normālais sadalījums (kas ir nepārtraukts varbūtības sadalījums) tiek aprakstīts, izmantojot varbūtības blīvuma funkciju ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Kāda ir atšķirība starp nejaušajiem mainīgajiem un varbūtības sadalījumu?
• Nejaušs mainīgais ir funkcija, kas saista parauga telpas vērtības ar reālu skaitli.
• Varbūtības sadalījums ir funkcija, kas sasaista vērtības, kuras nejaušais mainīgais var iegūt ar attiecīgo rašanās varbūtību.
