Integrācija pret diferenciāciju
Integrācija un diferenciācija ir divi pamatjēdzieni aprēķinos, kas pēta izmaiņas. Calculus ir plašs pielietojumu klāsts daudzās jomās, piemēram, zinātnē, ekonomikā vai finansēs, inženierzinātnēs utt.
Diferencēšana
Diferencēšana ir algebriskā procedūra atvasinājumu aprēķināšanai. Funkcijas atvasinājums ir līknes (grafa) slīpums vai gradients jebkurā noteiktā punktā. Līknes gradients jebkurā punktā ir šai līknei pievilktās pieskares gradients dotajā punktā. Nelineārām līknēm līknes gradients var atšķirties dažādos punktos gar asi. Tāpēc jebkurā punktā ir grūti aprēķināt slīpumu vai slīpumu. Diferencēšanas process ir noderīgs, lai aprēķinātu līknes gradientu jebkurā punktā.
Cita atvasinājuma definīcija ir “īpašuma maiņa attiecībā pret citas īpašības vienības maiņu”.
Ļaujiet f(x) būt neatkarīga mainīgā x funkcija. Ja neatkarīgajā mainīgajā x tiek izraisītas nelielas izmaiņas (∆x), funkcijā f(x) tiek izraisītas atbilstošas izmaiņas ∆f(x); tad attiecība ∆f(x)/∆x ir f(x) izmaiņu ātruma mērs attiecībā pret x. Šīs attiecības robežvērtība, jo ∆x ir tendence uz nulli, lim∆x→0(f(x)/∆x) sauc par funkcijas f(x) pirmo atvasinājumu., attiecībā pret x; citiem vārdiem sakot, f(x) momentānas izmaiņas noteiktā punktā x.
Integrācija
Integrācija ir noteikta integrāļa vai nenoteikta integrāļa aprēķināšanas process. Reālai funkcijai f(x) un slēgtam intervālam [a, b] reālajā rindā noteiktais integrālis a∫b f(x) ir definēts kā laukums starp funkcijas grafiku, horizontālo asi un divām vertikālajām līnijām intervāla beigu punktos. Ja konkrēts intervāls nav norādīts, to sauc par nenoteiktu integrāli. Noteiktu integrāli var aprēķināt, izmantojot antiatvasinājumus.
Kāda ir atšķirība starp integrāciju un diferenciāciju?
Atšķirība starp integrāciju un diferenciāciju ir tāda pati kā atšķirība starp “kvadrātsakņu” un “kvadrātsaknes ņemšanu”. Ja mēs kvadrātā ņemam pozitīvu skaitli un pēc tam ņemam rezultāta kvadrātsakni, pozitīvā kvadrātsaknes vērtība būs skaitlis, kuru jūs kvadrātā. Līdzīgi, ja lietojat integrāciju rezultātam, ko ieguvāt, diferencējot nepārtrauktu funkciju f(x), tas novedīs atpakaļ pie sākotnējās funkcijas un otrādi.
Piemēram, lai F(x) ir funkcijas f(x)=x integrālis, tāpēc F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, kur c ir patvaļīga konstante. Diferencējot F(x) attiecībā pret x, iegūstam F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, tāpēc F(x) atvasinājums ir vienāds ar f(x).
Kopsavilkums
– Diferenciācija aprēķina līknes slīpumu, bet integrācija aprēķina laukumu zem līknes.
– Integrācija ir apgriezts diferenciācijas process un otrādi.
