Atšķirība starp integrāciju un summēšanu

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 13:45

Integrācija pret summēšanu

Virsskolas matemātikā integrācija un summēšana bieži sastopama matemātiskajās darbībās. Šķietami tos izmanto kā dažādus rīkus un dažādās situācijās, taču tos vieno ļoti ciešas attiecības.

Vairāk par summēšanu

Summēšana ir skaitļu virknes pievienošanas darbība, un šo darbību bieži apzīmē ar grieķu lielo sigmas burtu Σ. To lieto, lai saīsinātu summēšanu un vienāds ar secības summu/kopējo summu. Tos bieži izmanto, lai attēlotu sērijas, kas būtībā ir summētas bezgalīgas secības. Tos var izmantot arī, lai norādītu vektoru, matricu vai polinomu summu.

Summēšanu parasti veic vērtību diapazonam, ko var attēlot ar vispārīgu terminu, piemēram, sēriju, kurai ir kopīgs termins. Summēšanas sākuma punkts un beigu punkts ir attiecīgi zināmi kā summēšanas apakšējā un augšējā robeža.

Piemēram, secības a₁, a₂, a₃, a summa. ₄, …, a_n ir a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, ko var viegli attēlot, izmantojot summēšanas apzīmējumu kā ∑ _i=1 a_{i; i sauc par summēšanas indeksu.}

Summēšanai, pamatojoties uz lietojumprogrammu, tiek izmantotas daudzas variācijas. Dažos gadījumos augšējo un apakšējo robežu var norādīt kā intervālu vai diapazonu, piemēram, ∑_1≤i≤100 a_i un ∑_{i∈[1, 100]} a_i Vai arī to var norādīt kā skaitļu kopu, piemēram, ∑_i∈P a_{i, kur P ir noteikta kopa.}

Dažos gadījumos var izmantot divas vai vairākas sigmas zīmes, taču tās var vispārināt šādi; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Arī summēšana atbilst daudziem algebras noteikumiem. Tā kā iegultā darbība ir saskaitīšana, daudzus parastos algebras noteikumus var piemērot pašām summām un atsevišķiem terminiem, kas attēloti ar summēšanu.

Vairāk par integrāciju

Integrācija ir definēta kā apgriezts diferenciācijas process. Bet ģeometriskā skatījumā to var uzskatīt arī par apgabalu, ko aptver funkcijas līkne un ass. Tāpēc laukuma aprēķins dod noteikta integrāļa vērtību, kā parādīts diagrammā.

Attēla avots:

Noteiktā integrāļa vērtība faktiski ir mazo joslu summa līknes un ass iekšpusē. Katras joslas laukums ir augstums × platums attiecīgās ass punktā. Platums ir vērtība, ko varam izvēlēties, piemēram, ∆x. Un augstums ir aptuveni funkcijas vērtība aplūkotajā punktā, teiksim f (x_{i). No diagrammas redzams, ka jo mazākas ir joslas, jo labāk joslas iekļaujas ierobežotajā zonā, tādējādi labāka vērtības tuvināšana.}

Tātad, vispārīgi noteiktais integrālis I starp punktiem a un b (t.i., intervālā [a, b], kur a<b) var tikt dots kā I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kur n ir joslu skaits (n=(b-a)/∆x). Šo laukuma summēšanu var viegli attēlot, izmantojot summēšanas apzīmējumu kā I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Tā kā tuvinājums ir labāks, ja ∆x ir mazāks, mēs varam aprēķināt vērtību, kad ∆x→0. Tāpēc ir saprātīgi teikt, ka I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Kā vispārinājumu no iepriekš minētā jēdziena, mēs varam izvēlēties ∆x, pamatojoties uz aplūkojamo intervālu, ko indeksē ar i (izvēloties laukuma platumu, pamatojoties uz pozīciju). Tad mēs saņemam

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Tas ir pazīstams kā Reimaņa integrālis funkcijai f (x) intervālā [a, b]. Šajā gadījumā a un b ir zināmi kā integrāļa augšējā un apakšējā robeža. Reimaņa integrālis ir visu integrācijas metožu pamatforma.

Būtībā integrācija ir laukuma summēšana, ja taisnstūra platums ir bezgalīgi mazs.

Kāda ir atšķirība starp integrāciju un summēšanu?

• Summēšana ir skaitļu virknes saskaitīšana. Parasti summēšana tiek dota šādā formā ∑_i=1 a_{i, ja termini ir secībā ir modelis, un to var izteikt, izmantojot vispārīgu terminu.}

• Integrācija būtībā ir apgabals, ko ierobežo funkcijas līkne, ass un augšējās un apakšējās robežas. Šo laukumu var norādīt kā daudz mazāku platību summu, kas iekļauta ierobežotajā zonā.

• Summēšana ietver diskrētās vērtības ar augšējo un apakšējo robežu, savukārt integrācija ietver nepārtrauktas vērtības.

• Integrāciju var interpretēt kā īpašu summēšanas veidu.

• Skaitliskās aprēķina metodēs integrācija vienmēr tiek veikta kā summēšana.