Apakškopa pret superkopu
Matemātikā kopas jēdziens ir būtisks. Mūsdienu kopu teorijas izpēte tika formalizēta 1800. gadu beigās. Kopu teorija ir matemātikas pamatvaloda un mūsdienu matemātikas pamatprincipu krātuve. No otras puses, tā ir pati matemātikas nozare, kas mūsdienu matemātikā tiek klasificēta kā matemātiskās loģikas nozare.
Kopa ir labi definēta objektu kolekcija. Precīzi definēts nozīmē, ka pastāv mehānisms, ar kura palīdzību var noteikt, vai konkrētais objekts pieder noteiktai kopai vai nē. Objektus, kas pieder kopai, sauc par kopas elementiem vai dalībniekiem. Kopas parasti tiek apzīmētas ar lielajiem burtiem, un elementu apzīmēšanai tiek izmantoti mazie burti.
A kopa A ir kopas B apakškopa; tad un tikai tad, ja katrs kopas A elements ir arī kopas B elements. Šādu attiecību starp kopām apzīmē ar A ⊆ B. To var arī nolasīt kā ‘A ir ietverta B’. Tiek uzskatīts, ka kopa A ir pareiza apakškopa, ja A ⊆ B un A ≠B, un to apzīmē ar A ⊂ B. Ja grupā A ir kaut viens dalībnieks, kas nav B loceklis, tad A nevar būt B apakškopa. Tukša kopa ir jebkuras kopas apakškopa, un pati kopa ir tās pašas kopas apakškopa.
Ja A ir B apakškopa, tad A ir ietverta B. Tas nozīmē, ka B satur A vai, citiem vārdiem sakot, B ir A virskopa. Mēs rakstām A ⊇ B, lai apzīmētu, ka B ir A. superkopa
Piemēram, A={1, 3} ir B={1, 2, 3} apakškopa, jo visi elementi A, kas ietverti B. B ir A virskopa, jo B satur A. Ļaujiet A={1, 2, 3} un B={3, 4, 5}. Tad A∩B={3}. Tāpēc gan A, gan B ir A∩B superkopas. Kopa A∪B ir gan A, gan B virskopa, jo A∪B satur visus A un B elementus.
Ja A ir B virskopa un B ir C virskopa, tad A ir C virskopa. Jebkura kopa A ir tukšas kopas virskopa, un jebkura kopa pati ir šīs kopas virskopa.
'A ir B apakškopa' tiek lasīta arī kā "A ir ietverta B", apzīmēta ar A ⊆ B.
'B ir A virskopa' tiek lasīts arī kā "B ir ietverts A", apzīmēts ar A ⊇ B.
