Kardināls pret ordinālu
Mūsu ikdienas dzīvē skaitļi dažādās situācijās var izpausties dažādos veidos. Piemēram, kad mēs skaitam, lai noskaidrotu objektu kolekcijas lielumu, mēs tos uzskaitām kā vienu, divus, trīs utt. Ja mēs vēlamies kaut ko saskaitīt, lai iegūtu priekšstatu par objektu stāvokli, mēs tos uzskaitām kā pirmos, otros, trešos utt. Pirmajā skaitīšanas formā skaitļi tiek uzskatīti par kardināliem skaitļiem. Otrajā skaitīšanas formā skaitļi tiek uzskatīti par kārtas skaitļiem. Šajā kontekstā jēdzieni kardināls un kārtas ir pilnībā valodniecības jautājums; kardināls un kārtas ir īpašības vārdi.
Tomēr jēdziena attiecināšana uz kopām matemātikā atklāj daudz dziļāku un plašāku perspektīvu, un to nevar traktēt vienkārši. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast kardinālo un kārtas skaitļu pamatjēdzienus matemātikā.
Kardinālo un kārtas skaitļu formālas definīcijas ir sniegtas kopu teorijā. Definīcijas ir sarežģītas, un, lai tās saprastu pilnīgā nozīmē, ir nepieciešamas kopu teorijas pamatzināšanas. Tāpēc pievērsīsimies pāris piemēriem, lai jēdzienus saprastu heiristiski.
Apsveriet divus komplektus {1, 3, 6, 4, 5, 2} un {autobuss, automašīna, prāmis, vilciens, lidmašīna, helikopters}. Katrā komplektā ir norādīta elementu kopa, un, ja mēs saskaitām elementu skaitu, ir skaidrs, ka katram ir vienāds elementu skaits, kas ir 6. Nonākot pie šī secinājuma, mēs esam paņēmuši vienas kopas lielumu un salīdzinājām ar citu, izmantojot numuru. Šādu skaitli sauc par kardinālu. Tāpēc mēs varam teikt, ka kardināls skaitlis ir skaitlis, ko mēs varam izmantot, lai salīdzinātu galīgo kopu lielumu.
Atkal pirmo skaitļu kopu var sakārtot augošā secībā, ņemot vērā katra elementa lielumu un tos salīdzinot. Pasūtīšanas procesā skaitļi tiek uzskatīti par kardināliem. Tāpat visu nenegatīvo veselo skaitļu kopu var sakārtot kopā; t.i., {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Bet šajā gadījumā komplekta lielums kļūst bezgalīgs, un to piešķiršana kārtas izteiksmē nav iespējama. Neatkarīgi no tā, cik lielu skaitli jūs izvēlaties, lai norādītu kopas lielumu, joprojām tiks izlaisti skaitļi no jūsu izvēlētās kopas un ir nenegatīvi veseli skaitļi.
Tādēļ matemātiķi šo bezgalīgo kardinālu (kas ir pirmais) definē kā Aleph-0, kas rakstīts kā א (ebreju alfabēta pirmais burts). Formāli kārtas numurs ir labi pasūtītas komplekta pasūtījuma veids. Tāpēc galīgo kopu kārtas numuru var norādīt ar kardināliem skaitļiem, bet bezgalīgām kopām kārtas skaitli dod ar starpgalīgiem skaitļiem, piemēram, Aleph-0.
Kāda ir atšķirība starp kardināliem un kārtas skaitļiem?
• Kardinālais skaitlis ir skaitlis, ko var izmantot, lai skaitītu vai norādītu ierobežotas sakārtotas kopas izmēru. Visi kardinālie skaitļi ir kārtas skaitļi.
• Kārtības skaitļi ir skaitļi, ko izmanto, lai norādītu gan galīgo, gan bezgalīgo sakārtoto kopu lielumu. Galīgo sakārtoto kopu lielums ir norādīts ar parastiem hindu-arābu algebriskiem cipariem, bet bezgalīgo kopu lielums tiek norādīts ar starpgalīgiem skaitļiem.
