Binomiālā un parastā sadalījuma atšķirība

2024 Autors: Alex Aldridge | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-17 13:45

Binomiāls pret parasto sadalījumu

Nejaušo lielumu varbūtības sadalījumiem ir liela nozīme statistikas jomā. No šiem varbūtības sadalījumiem binomiālais sadalījums un normālais sadalījums ir divi no visbiežāk sastopamajiem reālajā dzīvē.

Kas ir binomiālais sadalījums?

Binomiālais sadalījums ir varbūtības sadalījums, kas atbilst gadījuma mainīgajam X, kas ir neatkarīgu jā/nē eksperimentu ierobežotas secības panākumu skaits, no kuriem katram ir veiksmes varbūtība p. No X definīcijas ir skaidrs, ka tas ir diskrēts gadījuma mainīgais; tāpēc arī binomiālais sadalījums ir diskrēts.

Sadalījums ir apzīmēts kā X ~ B (n, p), kur n ir eksperimentu skaits un p ir veiksmes varbūtība. Saskaņā ar varbūtības teoriju mēs varam secināt, ka B (n, p) seko varbūtības masas funkcijai [latekss] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latekss]. No šī vienādojuma var tālāk secināt, ka sagaidāmā X vērtība, E(X)=np un X dispersija, V(X)=np (1-p).

Piemēram, apsveriet nejaušu eksperimentu, metot monētu 3 reizes. Definējiet panākumus kā H iegūšanu, neveiksmi kā T iegūšanu un nejaušo mainīgo X kā veiksmes gadījumu skaitu eksperimentā. Tad X ~ B (3, 0,5) un X varbūtības masas funkcija, kas dota ar [lateksu] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latekss]. Tāpēc varbūtība iegūt vismaz 2 H ir P(X ≥ 2)=P (X=2 vai X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Kas ir normālais sadalījums?

Normālais sadalījums ir nepārtraukts varbūtības sadalījums, ko nosaka varbūtības blīvuma funkcija [latekss] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latekss]. Parametri [latekss] \mu un \\sigma [/latex] apzīmē interesējošās populācijas vidējo vērtību un standartnovirzi. Ja [latekss] \mu=0 un \\sigma=1 [/latex], sadalījumu sauc par standarta normālo sadalījumu.

Šo sadalījumu sauc par normālu, jo lielākā daļa dabas parādību seko normālajam sadalījumam. Piemēram, cilvēku IQ parasti ir sadalīts. Kā redzams no grafika, tas ir unimodāls, simetrisks attiecībā pret vidējo un zvana formu. Vidējais, režīms un mediāna sakrīt. Laukums zem līknes atbilst populācijas daļai, kas atbilst noteiktam nosacījumam.

Iedzīvotāju daļas intervālā [latekss] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latekss], [latekss] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latekss], [latekss] (\mu – 3 \\ sigma, \\mu + 3 \\ sigma) [/latekss] ir aptuveni 68,2%, 95,6% un 99,8% attiecīgi.

Kāda ir atšķirība starp binomiālo un parasto sadalījumu?

• Binomiālais sadalījums ir diskrēts varbūtības sadalījums, turpretim normālais sadalījums ir nepārtraukts.
• Binoma sadalījuma varbūtības masas funkcija ir [latekss]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latekss], savukārt normālā sadalījuma varbūtības blīvuma funkcija ir [latekss] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomiālais sadalījums ir tuvināts ar normālu sadalījumu noteiktos apstākļos, bet ne otrādi.