Savstarpēji ekskluzīvi pret neatkarīgiem notikumiem
Cilvēki bieži jauc savstarpēji izslēdzošu notikumu jēdzienu ar neatkarīgiem notikumiem. Patiesībā tās ir divas dažādas lietas.
Lai A un B ir jebkuri divi notikumi, kas saistīti ar nejaušu eksperimentu E. P(A) sauc par “A varbūtību”. Līdzīgi mēs varam definēt B varbūtību kā P(B), A vai B varbūtību kā P(A∪B) un varbūtību, ka A un B kā P(A∩B). Tad P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Tomēr divi notikumi ir viens otru izslēdzoši, ja viena notikuma rašanās neietekmē otru. Citiem vārdiem sakot, tie nevar notikt vienlaicīgi. Tāpēc, ja divi notikumi A un B ir viens otru izslēdzoši, tad A∩B=∅ un līdz ar to tas nozīmē P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Lai A un B ir divi notikumi parauga telpā S. Nosacītā A varbūtība, ņemot vērā, ka ir noticis B, tiek apzīmēta ar P(A | B) un ir definēta kā; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), ar nosacījumu P(B)>0. (pretējā gadījumā tas nav definēts.)
Notikums A ir neatkarīgs no notikuma B, ja A rašanās iespējamību neietekmē tas, vai B ir noticis vai nē. Citiem vārdiem sakot, notikuma B iznākums neietekmē notikuma A iznākumu. Tāpēc P(A | B)=P(A). Tāpat B ir neatkarīgs no A, ja P(B)=P(B | A). Tādējādi mēs varam secināt, ka, ja A un B ir neatkarīgi notikumi, tad P(A∩B)=P(A). P(B)
Pieņemsim, ka tiek izripināts numurēts kubs un tiek uzmesta godīga monēta. Lai A ir notikums, kas iegūst galvu, un B ir notikums, kas ripina pāra skaitli. Tad mēs varam secināt, ka notikumi A un B ir neatkarīgi, jo viena iznākums neietekmē otra iznākumu. Tāpēc P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Tā kā P(A∩B)≠0, A un B nevar būt savstarpēji izslēdzoši.
Pieņemsim, ka urnā ir 7 b altas bumbiņas un 8 melnas bumbiņas. Definējiet notikumu A kā b alta marmora zīmēšanu un notikumu B kā melna marmora zīmēšanu. Pieņemot, ka katrs marmors tiks nomainīts pēc tā krāsas pierakstīšanas, tad P(A) un P(B) vienmēr būs vienādi, neatkarīgi no tā, cik reižu mēs zīmēsim no urnas. Bumbuļu nomaiņa nozīmē, ka iespējamības nemainās no izlozes līdz zīmēšanai neatkarīgi no tā, kādu krāsu mēs izvēlējāmies pēdējā izlozē. Tāpēc notikums A un B ir neatkarīgi.
Tomēr, ja bumbiņas tika zīmētas bez nomaiņas, tad viss mainās. Saskaņā ar šo pieņēmumu notikumi A un B nav neatkarīgi. Pirmo reizi zīmējot b altu marmoru, tiek mainīta varbūtība, ka otrajā zīmējumā tiks uzzīmēts melns marmors un tā tālāk. Citiem vārdiem sakot, katrai izlozei ir ietekme uz nākamo izlozi, tāpēc atsevišķi izlozes gadījumi nav neatkarīgi.
Atšķirība starp savstarpēji izslēdzošiem un neatkarīgiem notikumiem
– Notikumu savstarpēja ekskluzivitāte nozīmē, ka starp A un B kopām nav pārklāšanās. Notikumu neatkarība nozīmē, ka A notikumi neietekmē B norisi.
– Ja divi notikumi A un B viens otru izslēdz, tad P(A∩B)=0.
– Ja divi notikumi A un B ir neatkarīgi, tad P(A∩B)=P(A). P(B)
