Atšķirības vienādojums pret diferenciālvienādojumu
Dabas parādību var matemātiski aprakstīt ar vairāku neatkarīgu mainīgo un parametru funkcijām. It īpaši, ja tos izsaka ar telpiskās pozīcijas un laika funkciju, tas rada vienādojumus. Funkcija var mainīties, mainoties neatkarīgajiem mainīgajiem vai parametriem. Bezgalīgi mazas izmaiņas, kas notiek funkcijā, mainot vienu no tās mainīgajiem, sauc par šīs funkcijas atvasinājumu.
Diferenciālvienādojums ir jebkurš vienādojums, kas satur funkcijas atvasinājumus, kā arī pašu funkciju. Vienkāršs diferenciālvienādojums ir Ņūtona otrā kustības likuma vienādojums. Ja objekts ar masu m kustas ar paātrinājumu “a” un uz to iedarbojas ar spēku F, tad Ņūtona otrais likums norāda, ka F=ma. Šeit atkal "a" mainās ar laiku, mēs varam pārrakstīt "a" kā; a=dv/dt; v ir ātrums. Ātrums ir telpas un laika funkcija, tas ir, v=ds/dt; tāpēc ‘a’=d2s/dt2
Paturot to prātā, mēs varam pārrakstīt Ņūtona otro likumu kā diferenciālvienādojumu;
'F' kā v un t funkcija – F(v, t)=mdv/dt vai
'F' kā s un t funkcija – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Ir divu veidu diferenciālvienādojumi; parastais diferenciālvienādojums, saīsināts ar ODE vai daļējs diferenciālvienādojums, saīsināts ar PDE. Parastajā diferenciālvienādojumā būs parastie atvasinājumi (tikai viena mainīgā atvasinājumi). Daļējā diferenciālvienādojumā būs diferenciālie atvasinājumi (vairāk nekā viena mainīgā atvasinājumi).
piem. F=m d2s/dt2 ir ODE, savukārt α2 d 2u/dx2=du/dt ir PDE, tam ir t un x atvasinājumi.
Atšķirības vienādojums ir tāds pats kā diferenciālvienādojums, taču mēs to aplūkojam citā kontekstā. Diferenciālvienādojumos neatkarīgais mainīgais, piemēram, laiks, tiek aplūkots nepārtrauktas laika sistēmas kontekstā. Diskrētā laika sistēmā funkciju saucam par atšķirības vienādojumu.
Atšķirību vienādojums ir atšķirību funkcija. Neatkarīgo mainīgo atšķirības ir trīs veidu; skaitļu secība, diskrēta dinamiskā sistēma un iterētā funkcija.
Ciparu secībā izmaiņas tiek ģenerētas rekursīvi, izmantojot noteikumu, lai saistītu katru kārtas numuru ar iepriekšējiem skaitļiem secībā.
Atšķirības vienādojums diskrētā dinamiskā sistēmā ņem atsevišķu ieejas signālu un rada izejas signālu.
Atšķirības vienādojums ir iterēta karte iterētām funkcijām. Piemēram, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(y0))), …. ir iterētas funkcijas secība. F(y0) ir y0 pirmais iterāts. k-tais iterāts tiks apzīmēts ar fk (y0).
