Hiperbola pret elipsi
Kad konuss tiek griezts dažādos leņķos, ar konusa malu tiek iezīmētas dažādas līknes. Šīs līknes bieži sauc par koniskām sekcijām. Precīzāk, konusa griezums ir līkne, kas iegūta, krustojot taisnu apļveida konisku virsmu ar plakanu virsmu. Dažādos krustojuma leņķos ir doti dažādi konusveida posmi.
Gan hiperbola, gan elipse ir konusveida griezumi, un to atšķirības šajā kontekstā ir viegli salīdzināmas.
Vairāk par Ellipse
Kad koniskās virsmas un plaknes virsmas krustpunkts rada slēgtu līkni, to sauc par elipsi. Tam ir ekscentricitāte no nulles līdz vienam (0<e<1). To var definēt arī kā punktu kopas atrašanās vietu plaknē tā, ka attālumu summa līdz punktam no diviem fiksētiem punktiem paliek nemainīga. Šie divi fiksētie punkti ir pazīstami kā “foci”. (Atcerieties; matemātikas pamatstundās elipses tiek zīmētas, izmantojot virkni, kas piesieta pie divām fiksētām tapām, vai virknes cilpu un divas tapas.)
Līnijas segments, kas iet cauri perēkļiem, ir pazīstams kā galvenā asi, bet ass, kas ir perpendikulāra galvenajai asij un iet caur elipses centru, ir pazīstama kā mazā asi. Diametrus gar katru asi sauc attiecīgi par šķērsgriezumu un konjugāta diametru. Puse no galvenās ass ir zināma kā daļēji galvenā ass, un puse no mazās ass ir zināma kā daļēji mazā ass.
Katrs punkts F1 un F2 ir pazīstams kā elipses fokuss un garumi F1 + PF2 =2a, kur P ir patvaļīgs elipses punkts. Ekscentriskums e ir definēts kā attiecība starp attālumu no fokusa līdz patvaļīgam punktam (PF 2) un perpendikulāro attālumu līdz patvaļīgajam punktam no virziena (PD). Tas ir arī vienāds ar attālumu starp diviem fokusiem un daļēji galveno asi: e=PF/PD=f/a
Vispārējais elipses vienādojums, kad daļēji lielākā ass un daļēji mazā ass sakrīt ar Dekarta asīm, ir norādīts šādi.
x2/a2 + y2/b2=1
Elipses ģeometrijai ir daudz pielietojumu, īpaši fizikā. Saules sistēmas planētu orbītas ir eliptiskas, un Saule ir viens fokuss. Antenu un akustisko ierīču atstarotāji ir izgatavoti elipses formā, lai izmantotu to, ka jebkura fokusa emisija saplūst ar otru fokusu.
Vairāk par hiperbolu
Hiperbola ir arī koniska sadaļa, taču tā ir atvērta. Termins hiperbola attiecas uz divām atvienotām līknēm, kas parādītas attēlā. Tā vietā, lai aizvērtos kā elipse, hiperbolas rokas vai zari turpinās līdz bezgalībai.
Punktus, kur starp abiem zariem ir mazākais attālums, sauc par virsotnēm. Līnija, kas iet cauri virsotnēm, tiek uzskatīta par galveno asi vai šķērsasi, un tā ir viena no hiperbolas galvenajām asīm. Divi parabolas perēkļi atrodas arī uz galvenās ass. Līnijas viduspunkts starp abām virsotnēm ir centrs, un līnijas segmenta garums ir daļēji galvenā ass. Puslielās ass perpendikulārā bisektrise ir otra galvenā ass, un divas hiperbolas līknes ir simetriski ap šo asi. Parabolas ekscentriskums ir lielāks par vienu; e > 1.
Ja galvenās asis sakrīt ar Dekarta asīm, vispārējais hiperbolas vienādojums ir šādā formā:
x2/a2 – y2/b2=1,
kur a ir daļēji galvenā ass un b ir attālums no centra līdz jebkuram fokusam.
Hiperbolas ar atvērtiem galiem, kas vērstas pret x asi, ir zināmas kā austrumu-rietumu hiperbolas. Līdzīgas hiperbolas var iegūt arī uz y ass. Tās ir pazīstamas kā y ass hiperbolas. Šādu hiperbolu vienādojums ir šāds:
y2/a2 – x2/b2=1
Kāda ir atšķirība starp hiperbolu un elipsi?
• Gan elipses, gan hiperbola ir konusa griezumi, bet elipse ir slēgta līkne, savukārt hiperbola sastāv no divām atvērtām līknēm.
• Tāpēc elipsei ir ierobežots perimetrs, bet hiperbolai ir bezgalīgs garums.
• Abi ir simetriski ap savu lielo un mazo asi, taču virziena pozīcija katrā gadījumā ir atšķirīga. Elipsē tas atrodas ārpus puslielās ass, savukārt hiperbolā tas atrodas puslielajā ass.
• Abu konusveida sekciju ekscentricitātes ir atšķirīgas.
0 <eElipse < 1
eHiperbola > 0
• Abu līkņu vispārīgais vienādojums izskatās vienāds, taču tie atšķiras.
• Galvenās ass perpendikulāra bisektrise šķērso līkni elipsē, bet ne hiperbolā.
(Attēlu avots: Wikipedia)
