Ortogonāls pret ortonormālu
Matemātikā divus vārdus ortogonāls un ortonormāls bieži lieto kopā ar vektoru kopu. Šeit termins "vektors" tiek lietots tādā nozīmē, ka tas ir vektoru telpas elements - algebriskā struktūra, ko izmanto lineārajā algebrā. Mūsu diskusijai mēs apsvērsim iekšējo produktu telpu - vektoru telpu V kopā ar iekšējo reizinājumu , kas definēts V.
Piemēram, iekšējam reizinājumam telpa ir visu trīsdimensiju pozīcijas vektoru kopa kopā ar parasto punktu reizinājumu.
Kas ir ortogonāls?
Iekšējās produktu telpas V netukša apakškopa S ir ortogonāla tad un tikai tad, ja katram atšķirīgajam u, v S, [u, v]=0; i., u un v iekšējais reizinājums ir vienāds ar nulles skalāru iekšējā reizinājuma telpā.
Piemēram, visu trīsdimensiju pozīcijas vektoru kopā tas ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka katram atšķirīgajam pozīcijas vektoru p un q pārim S, p un q ir perpendikulāri viens otram. (Atcerieties, ka iekšējais reizinājums šajā vektoru telpā ir punktveida reizinājums. Arī divu vektoru punktveida reizinājums ir vienāds ar 0 tad un tikai tad, ja abi vektori ir perpendikulāri viens otram.)
Apsveriet kopu S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, kas ir 3-dimensiju pozīcijas vektoru apakškopa. Ievērojiet, ka (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 un (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Tādējādi kopa S ir ortogonāla. Jo īpaši tiek uzskatīts, ka divi vektori ir ortogonāli, ja to iekšējais reizinājums ir 0. Tāpēc katrs Sis vektoru pāris ir ortogonāls.
Kas ir ortonormāls?
Iekšējās reizinājuma telpas V netukša apakškopa S ir ortonormāla tad un tikai tad, ja S ir ortogonāla un katram vektoram u S, [u, u]=1. Tādējādi var redzēt, ka katra ortonormālā kopa ir ortogonāla, bet ne otrādi.
Piemēram, visu trīsdimensiju pozīcijas vektoru kopā tas ir līdzvērtīgi apgalvojumam, ka katram atšķirīgajam pozīcijas vektoru p un q pārim S, p un q ir perpendikulāri viens otram, un katrs p S, |p|=1. Tas ir tāpēc, ka nosacījums [p, p]=1 samazinās līdz p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, kas ir līdzvērtīgs |p |=1. Tāpēc, ņemot vērā ortogonālu kopu, mēs vienmēr varam izveidot atbilstošu ortonormālu kopu, dalot katru vektoru ar tā lielumu.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ir ortonormāla visu trīsdimensiju pozīciju vektoru kopas apakškopa. Ir viegli redzēt, ka tas iegūts, dalot katru vektoru kopā S ar to lielumiem.
Kāda ir atšķirība starp ortogonālo un ortonormālo?
- Iekšējās reizinājuma telpas V netukša apakškopa S ir ortogonāla tad un tikai tad, ja katram atšķirīgajam u, v S, [u, v]=0. Tomēr tā ir ortonormāla, ja un tikai tad, ja ir izpildīts papildu nosacījums – katram vektoram u S, [u, u]=1.
- Jebkura ortonormāla kopa ir ortogonāla, bet ne otrādi.
- Jebkura ortogonāla kopa atbilst unikālai ortonormālajai kopai, bet ortonormāla kopa var atbilst daudzām ortogonālām kopām.
